Probar que una matriz es invertible sin usar determinantes

Question

Demuestre si $A$ , $B$ y $C$ son matrices cuadradas y $ABC = I$ entonces $B$ es invertible y $B^{-1}= CA$ .

Sé que esta prueba se puede hacer tomando el determinante de $ABC=I$ y mostrando que $A$ , $B$ y $C$ son invertibles y luego encontrar la inversa de $B$ . Sin embargo, en este capítulo del libro, todavía no hemos aprendido los determinantes, así que me gustaría resolver el problema sin determinantes. Mi método de demostración implica el uso de una contradicción y es el siguiente:

Supongamos que ${C^{-1}}$ no existe, entonces $\exists$ $x$ $\neq$ $0$ tal que $Cx = 0$ .
$ABCx =Ix$

$AB0 = x$

$0=x$ lo cual es una contradicción ya que sabemos que $x$ $\neq$ $0$ y por lo tanto ${C^{-1}}$ existe.

$AB$$ {C^{-1}} $ $ =I $${C^{-1}}$

$AB=$$ {C^{-1}}$

WLOG, B es invertible

$CAB =C$$ {C^{-1}}$

$CAB = I$

$CAB$$ {B^{-1}} $ $ =I $${B^{-1}}$

$CA=$$ {B^{-1}}$

Mi pregunta es si es correcto asumir ${C^{-1}}$ no existe ya que la prueba no menciona nada sobre ${C^{-1}}$ existentes o no.

Answer 1

Se puede demostrar, a través de métodos elementales que si $M$ y $N$ son matrices cuadradas tales que $MN = I$ entonces $NM= I$ .

Así, si $ABC = A(BC) = I$ entonces $(BC)A = B(CA) = I$ lo que demuestra que $B$ es invertible y $B^{-1}=CA$ .

Answer 2

Una matriz cuadrada $A$ es invertible si y sólo si existe otra matriz $A^{-1}$ tal que $A^{-1}A=I$ . En el expreso $ABC=I$ , eligió $X=AB$ y tenemos $XC=I$ . Así, $C^{-1}=X$ . Del mismo modo, mostrar $A$ es invertible. Ahora, $$ABC=I$$ $$AB=C^{-1}$$ $$CAB=I$$ $$CA=B^{-1}$$

Answer 3

Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su rango es $n$ .

Además, sabemos que $\operatorname{rank}(AB) \le \min(\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B) )$

En esta pregunta

$$ABC=I$$

Por lo tanto, $\operatorname{rank}(ABC)=n$

$$n \le \min(\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B), \operatorname{rank}(C) )$$

Por lo tanto, $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B) =\operatorname{rank}(C)=n$ y todos son invertibles.

Por lo tanto, $B=A^{-1}C^{-1}$ y $B^{-1}=(A^{-1}C^{-1})^{-1}=CA$

Answer 4

Desde entonces, $ABC = I$ entonces $A$ es invertible (véase más adelante). Lo mismo ocurre con $C$ desde $(AB)C=I$ . La inversa de $C$ es $AB$ . Así que, $B = A^{-1}C^{-1}$ y $BCA= I$ . Así, la inversa de $B$ es $CA$ .

Esquema de prueba de AB=I $\implies$ A y B son invertibles y son inversos entre sí

Consideremos las transformaciones lineales inducidas por las matrices $A$ y $B$ en $\mathbb R^n$ . Por comodidad, representaré las transformaciones lineales correspondientes mediante $A$ y $B$ también. Desde $AB=I$ implica la composición de transformaciones lineales $A$ y $B$ es la transformación lineal de identidad. Así que, $B$ es una transformación lineal inyectiva y $A$ es una transformación lineal suryente. Dado que estamos en un espacio vectorial de dimensiones finitas, esto implica que tanto $A$ y $B$ son transformaciones lineales invertibles (por el teorema de la nulidad). Por lo tanto, $A$ y $B$ son invertibles como matrices. También no que desde $AB=I$ obtenemos $BABA=BA$ . Ahora, multiplicando la inversa de $A$ y $B$ de la derecha en ambos lados, obtenemos $BA=I$ también. Ahora, a partir de la definición inversa de las matrices, obtenemos $A$ y $B$ son inversos entre sí.