Inducida por el esquema de la estructura de una componente irreducible?

Question

Supongamos que $X$ es un no-reducido esquema de finito tipo de más de un campo, con múltiples componentes irreducibles de $X_1,\ldots,X_n$, posiblemente se cruzan. Hay una natural esquema de la estructura en cada una de las $X_i$? No quiero que la reducción inducida por la estructura: por ejemplo, si $X$ genéricamente es no-reducción en $X_i$, quiero que mi inducida por la estructura en $X_i$ a no ser reducido.

No estoy seguro de si debo esperar a tener incrustado puntos en $X_i \cap X$ o no. Posiblemente no hay una elección canónica para esta estructura.

Answer 1

Sí. Sobre afín a los gráficos, el esquema de la estructura en $X_i = \mathrm{Spec}( R/P_i)$ está dado por la (única) principal ideal $Q_i$ con radicales $P_i$ en un mínimo de primaria de la descomposición de los cero ideal de $R$. Este es llamado el "segundo teorema de unicidad" de primaria de la descomposición. (Unicidad garantiza que los ideales $Q_i$ obtenido a partir de diferentes gráficos parche a un único esquema de la estructura en $X_i$.)

Vale la pena señalar que este teorema sólo existe para irreductible de los componentes, es decir, un mínimo de primer ideales $P_i$, no incorporado de los números primos.