Solución homogénea de la ecuación diferencial en forma simétrica

Question

Deje $g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ ser un diferenciable y función integrable. La integral de la curva de la ecuación diferencial es:

$(y + g(x))dx + (x - g(y))dy = 0$

que pasa por el punto a $(1, 1)$ también deben pasar a través de los cuales de los siguientes puntos?

$(0, 0),$ $(2, 1/2),$ $(1/2, 2),$ $(-1, -1),$ o $(0, 1)$

Answer 1

Si $f$ es un primitime función de $g$, entonces la ecuación es $d(xy+f(x)-f(y))=0$, por lo que la curva integral que pasa a través de $(1,1)$$xy+f(x)-f(y)=1$. Si $f=0$ ( $g=0$ ), a continuación, la solución sólo pasa a través de $(2,1/2)$ y $(1/2,2)$ ($(-1,-1)$ no está allí - sólo tenemos que tomar una rama de la hipérbola $xy=1$). Por otro lado, si $f(2)\neq f(1/2)$, $(2,1/2)$ $(1/2,2)$ no están en la curva. Por lo que ninguno de los puntos que debe encontrarse en la curva.

Answer 2

La curva integral puede escribirse como $$ d(xy) + g(x)dx - g(y)dy = 0 $$ Es dado que la curva pasa por (1,1). Deje $(x_0,y_0)$ ser cualquier otro punto sobre la curva. Entonces, la integración de la ecuación anterior $$\int_{1}^{x_0y_0} d(xy) + \int_1^{x_0}g(x)dx-\int_1^{y_0}g(y)dy = C $$ Como la variable de integración es inmaterial, $$x_0y_0 -1 +\int_{y_0}^{x_0}g(t)dt =C $$ Como $(x_0,y_0) = (1,1)$ satisface la ecuación, podemos concluir que $C=0$. Para que una $(x_0,y_0)$ a satisfacer la ecuación anterior para todos los $g$, está claro que $x_0 = y_0$, de modo que la integral en la evalúa a cero, independientemente de $g$. \ Así, la solución deseada debe satisfacer dos condiciones

1.$x_0 = y_0$

2.$x_0y_0 -1 = 0$

Claramente, $(-1,-1)$ es la única respuesta posible.