Comportamiento asintótico de $\sum\limits_{k=2}^{m}\frac{1}{\ln(k!)}$

Question

El objetivo es encontrar el comportamiento asintótico de la suma: $$\sum\limits_{k=2}^{m}\frac{1}{\ln(k!)}$$ al $m\to\infty$.

Cualquier ayuda para resolver esto?

Answer 1

Usando la aproximación de Stirling: $$\ln(n!)\sim n\ln(n)+O(n)$$

A continuación nos suma aproximada con la integral: $$\sum\limits_{k=2}^{m}\frac{1}{k\ln(k)}\sim\int_{2}^{m}\frac{dx}{x\ln(x)}=\ln\ln(m)-\ln\ln(2)$$

Encuentra comportamiento asintótico — $\ln \ln(n)$.