Formalización de $na$ para $n\in\mathbb{Z}$ y $a\in R$ donde $R$ es un anillo.

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo y que $n\in\mathbb{Z}$ .

Dado $a\in R$ He visto $na$ definido como $$ na:=\begin{cases}0&\text{if }n=0,\\\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n\text{ times}}&\text{if }n>0,\\\underbrace{-a-a-\cdots-a}_{|n|\text{ times}}&\text{if }n<0.\end{cases}\tag{1} $$ Con esta definición, incluso he leído que $$ (m+n)a=ma+na\tag{2} $$ y $$ (mn)1=(m1)(n1)\tag{3} $$ son evidentes (y estoy de acuerdo con esta opinión).

Pregunta:

(i) ¿No es $(1)$ ¿informal? Si es así, ¿podría $na$ se defina formalmente, para $n\geq0$ , de forma recursiva a través de las ecuaciones \begin {align*} 0a&=0 \tag {4} \\ (n+1)a&=na+a \tag {5} \end {align*} y para $n<0$ por $na:=-(-n)a$ ?

(ii) ¿Las pruebas formales de $(2)$ y $(3)$ sea como se indica a continuación?

Lo pregunto porque nunca he visto que se haga esto...

Prueba de $(2)$ : Para los fijos $m$ , se procede por inducción en $n$ para $n\geq-m$ . Entonces, para $n<-m$ , $$ (m+n)a=-(-m-n)a=-((-m)a+(-n)a)=-(-m)a-(-n)a=ma+na $$

Prueba de $(3)$ : En primer lugar se muestra el resultado para $n\in\mathbb{Z}$ y $m\geq0$ . Para ello, demuestre por inducción en $m$ por el hecho de ser fijo $n$ que $(mn)1=m(n1)$ (haciendo uso de $(2)$ ) y luego que esto sea igual a $(m1)(n1)$ por inducción en $m$ de nuevo. Por último, para $m<0$ , $$ (mn)1=(-(-m)n)1=-((-m)n)1=-((-m)1)(n1)=(-(-m)1)(n1)=(m1)(n1) $$

Answer 1

$na$ es simplemente $a^n$ en el grupo aditivo de $R$ , escrito de forma aditiva, por supuesto.

En otras palabras, ya que $\mathbb Z$ es un grupo cíclico generado por $1 \in \mathbb Z$ existe un homomorfismo único $\mu: \mathbb Z \to R^+$ de grupos aditivos tales que $\mu(1)=a$ . Entonces $na$ es simplemente $\mu(n)$ .

Answer 2

Tu comentario en la respuesta a @lhf es correcto. Esto se formaliza en la teoría de conjuntos con el concepto de definición recursiva en este caso, la definición recursiva de un homomorfismo $f_a : \mathbb{Z} \to R$ con la propiedad de que $f_a(1)=a$ .

Informalmente es como lo que has escrito: primero define $f_a(1)$ lo que ya se ha hecho; a continuación, defina $f_a(n)$ mediante una fórmula expresada en términos de los valores de $f_a(1),…,f_a(n-1)$ , en este caso $f_a(n)=f_a(n-1)+a$ . El principio de definición recursiva garantiza entonces la existencia de esta función $f_a$ en los números naturales, y luego se extiende al cero y a los números negativos de la manera obvia.

Esta manera informal de hacer una definición recursiva es casi universalmente aceptable, porque una definición recursiva completa y formal es a menudo bastante tediosa y sin mucho interés matemático. Sin embargo, hay excepciones en las que uno debería escribir los detalles de una definición recursiva.

Una vez que haya demostrado la existencia de $f_a$ , todavía se quiere demostrar que es un homomorfismo, y esto será una prueba por inducción.

Y ya que hemos llegado hasta aquí, puede que también quieras verificar formalmente, utilizando los axiomas de la teoría de conjuntos, que la fórmula $a \mapsto f_a$ define una función de $R$ al conjunto de homomorfismos $\mathbb{Z} \to R$ . De esta manera se puede formalizar completamente la definición de $n \cdot a$ para ser $n \cdot a = f_a(n)$ .