¿Por qué la botella de Klein no es homeomorfa a un subespacio de $\mathbb R^3$ ?

Question

Se dice en muchos libros y también en la wikipedia o en WolframMathWorld que la botella de Klein no es homeomorfa a un subespacio de $\mathbb R^3$ . ¿Por qué es así?

Answer 1

Si es así, se podría aplicar Dualidad Alexander para concluir que $$H_2(\text{Klein bottle},\mathbb{Z}) \approx \widetilde H_0(\mathbb{R}^3 - (\text{Klein bottle})) \approx \mathbb{Z} $$ contradiciendo que $H_2(\text{Klein bottle},\mathbb{Z})$ es trivial.