Ecuación matricial, incluidas las matrices diagonales y ortogonales

Question

Quiero demostrar la siguiente estimación (no estoy muy seguro de si realmente se cumple, pero me interesa demostrarlo):

$$(1,...,1)UDU^T\left(\begin{array}{c} 1 \\ \vdots\\1 \end{array}\right) < n$$

donde $U\in\mathbb{R}^{n\times n}$ es una matriz ortogonal y $D\in\mathbb{R}^{n\times n}$ es una matriz diagonal cuyos elementos diagonales $d_i$ están todas en el intervalo $\lbrack 0, 1) $ . Empecé de la siguiente manera: Que $w:=U^T\left(\begin{array}{c} 1 \\ \vdots\\1 \end{array}\right)$ entonces tenemos $$(1,...,1)UDU^T\left(\begin{array}{c} 1 \\ \vdots\\1 \end{array}\right) = \langle w, Dw\rangle = \sum_{i=1}^n d_iw_i^2.$$ Además tenemos $w_i = \sum_{k=1}^nu_{k,i}$ donde $U = (u_{i,j})_{i,j=1,...,n}$ . Ahora quiero explotar que las columnas de $U$ son ortonormales. Desgraciadamente no encontré la forma correcta de hacerlo.

Answer 1

Como usted ha escrito, $$(1,...,1)UDU^T\left(\begin{array}{c} 1 \\ \vdots\\1 \end{array}\right) = \langle w, Dw\rangle = \sum_{i=1}^n d_iw_i^2.$$ Desde $0\leq d_i<1$ para todos $i$ tenemos $$\sum_{i=1}^n d_iw_i^2<\sum_{i=1}^n w_i^2=\|Ux\|^2$$ donde $x=(1,\ldots,1)^T$ . Desde $U$ es ortogonal, es una isometría, por lo que $\|Ux\|=\|x\|=\sqrt{n}$ . Combinando todos estos hechos, obtenemos $$(1,...,1)UDU^T\left(\begin{array}{c} 1 \\ \vdots\\1 \end{array}\right)= \sum_{i=1}^n d_iw_i^2<\|Ux\|^2=\|x\|^2=n.$$

Answer 2

Desde $d_i<1$ la matriz $I-D$ es positiva definida, es decir $D<I$ Por lo tanto $$ \begin{pmatrix}1 & ... &1\end{pmatrix}UDU^T\begin{pmatrix}1 \\ \vdots\\1 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix}1 & ... &1\end{pmatrix}UU^T\begin{pmatrix}1 \\ \vdots\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & ... &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ \vdots\\1 \end{pmatrix}=n. $$