¿Cómo podemos integrar los siguientes
Soy incapaz de encontrar un método adecuado o fórmula por la cual puedo obtener el valor de esta integral.
$$ \int {\sqrt{\cot^{-1} x}} + {\sqrt{\tan^{-1} x}} \, dx$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
izip
Puntos
131
El uso de $${\cot^{-1} x}+\tan^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}$$
Obtenemos $$\int\sqrt{\cot^{-1} x}+\sqrt{\tan^{-1} x}dx=\int\sqrt{\dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1} x}+\sqrt{\tan^{-1} x}dx$$
Vamos $x=\tan{\theta}$, $\phi=\dfrac{\pi}{2}-\theta$, a continuación, podemos simplificar: $$\int\dfrac{\sqrt{\dfrac{\pi}{2}-\theta}+\sqrt{\theta}}{\cos^2{\theta}}d\theta=-\int\dfrac{\sqrt{\phi}}{\sin^2{\phi}}d\phi+\int\dfrac{\sqrt{\theta}}{\cos^2\theta}d\theta$$
Deje $\theta = \psi^2$ y sólo calcular la segunda parte de el lado derecho debido a su semejanza con otro: $$\int\dfrac{2\psi^2}{\cos^2\psi^2}d\psi=[\psi \tan \psi^2]-\int\tan\psi^2 d\psi$$
Miré por tiempo indefinido integración de $\tan x^2$ en Internet, pero no encontré respuesta. Indica que esta parte hace que la deseada integración imposible sin el análisis numérico.
