El pedido de la $\binom{N}{2}$ pistas de acordes de una función convexa en $N$ puntos

Question

Recordar la siguiente :

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una función convexa, y deje $x<y<z$ ser distintos números reales, entonces uno tiene $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\leq \frac{f(z)-f(y)}{z-y} $$ Además, si dos de estos tres pendientes son iguales, entonces todos los tres son iguales.

Deje $N\geq 3$ ser un número entero, y nos permite identificar los dos elemento subconjunto $\lbrace i<j\rbrace$ $\lbrace 1,\dots,N\rbrace$ con el símbolo $(ij)$. Deje $x_1<\cdots<x_N$ $N$ distintos números reales. Definir un preorder en el conjunto de dos elementos y subconjuntos de a $\{1,\dots,N\}$ mediante la definición de $$ (ij)\preceq(kl)\iff s_{ij}\leq s_{kl} $$ donde, para todos los $1\leq i<j\leq N$ $$ s_{ij}:=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}, $$ y $(ij) \sim (kl)$ si ambos $(ij)\preceq(kl)$ $(kl)\preceq(ij)$ mantener.

Esta realidad puede ser reformulado de la siguiente manera : \begin{equation} \forall~1\leq i<j<k\leq N, \quad (ij)\preceq(ik)\preceq(jk) \end{equation} y $(ij)\sim(jk)\iff(ij)\sim(ik)\iff(jk)\sim(ik)\iff (ij)\sim(jk)\sim(ik)$.

---

Pregunta 1 : Supongamos $\preceq$ es un preorder en el conjunto de todos los dos elementos y subconjuntos de a $\{1,\dots,N\}$ la satisfacción de la condición anterior. ¿Existe una función convexa $f$ $N$ puntos que definen el mismo preorder por la definición descritos anteriormente ?

Pregunta 2 : Supongamos $\preceq$ puede ser realizado con una estrictamente convexa de la función $g$, puede uno darse cuenta de $\preceq$ utilizando el mapa de $f(x)=x^2$ ?

Answer 1

Como complemento de la Dap de la respuesta, aquí es una respuesta a la pregunta 2 por un método ligeramente diferente (no se basa en la igualdad de algunas pistas).

Tenga en cuenta seis puntos de $M_k(x_k,y_k) (1\leq k \leq 6)$ en el avión, que se define de la siguiente manera :

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline x_k & 1 & 2 & 3 & 4 & 7 & 8 \\ \hline y_k & 0 & 0 & 18 & 117 & 510 & 688 \\ \hline \end{array} $$

Si denotamos por a $\sigma_k=\frac{y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k}$ la pendiente de $M_k$ a $M_{k+1}$, vemos que la secuencia de $(\sigma_k)_{1\leq k\leq 5}$ es mayor :

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \sigma_k & 0 & 18 & 99 & 131 & 178 \\ \hline \end{array} $$

Así que no es estrictamente convexa mapa de $g$ tal que $g(x_k)=y_k$$1\leq k\leq 6$. El pre-pedido realizado por $g$ satisface :

$$ (14) \prec (23), (25) \prec (34), (36) \prec (45), \textrm{ pero } (16) \prec (34). \etiqueta{1} $$

Esto no puede ser realizado por $f(x)=x^2$, porque en ese caso

$$ s_{34}-s_{16}=\big(s_{23}-s_{14}\big)+\big(s_{34}-s_{25}\big)+\big(s_{45}-s_{36}\big) \etiqueta{2} $$

Answer 2

Como usted menciona en un comentario, Pascal del teorema da un extra de exigencia. En particular, tenemos el caso especial donde el Pascal línea es la línea en el infinito:

Dados los puntos a, B, C, D, E, F acostado en una cónica, si AB es paralela a la DE y BC es paralela a la EF, luego de CD es paralela a la FA.$\tag{*}$

Para la pregunta 1, la respuesta es no, al menos, para $N=7.$ Deje $A,C,E,X,D,F,B$ denotar los puntos de $(x_1,f(x_1)),\dots,(x_7,f(x_7))$ respectivamente. Tomar la relación que describe el preorder definido por una configuración reunión de la hipótesis de (*) con la cónica degenerada $y=|x|$ $X=(0,0)$ - por ejemplo, $x_1,\dots,x_7=-4,-2,-1,0,1,2,4$ $f(x)=|x|.$ Luego de modificarlo mediante la exigencia de que la pendiente de CD es mayor que la pendiente de la FA en lugar de la igualdad. Para satisfacer este preorder, $A,C,E,X$ son forzados a mentir en una línea, y $X,D,F,B$ son forzados a mentir en una línea diferente. Esto no destruir cualquiera de las condiciones en las $\preceq.$ La unión de las dos líneas es una cónica degenerada, por lo que (*) se aplica y así no hay ninguna configuración de puntos que define a esta preventa.

Para la pregunta 2, la respuesta también no al menos para $N=6.$ Deje $A,C,E,D,F,B$ denotar los puntos de $(x_1,f(x_1)),\dots,(x_6,f(x_6))$, respectivamente, y antes de tomar el preorder definido por una configuración de referencia de los puntos de la curva $y=x^2$ reunión de la hipótesis de (*), pero, a continuación, mueva $A$, ligeramente a la izquierda. No he trabajado fuera el real coordina, pero no debe ser un simple configuración determinada por $C,E,D,F=(4,-2),(1,-1),(1,1),(4,2).$ Moviendo $A$ modifica el preorder exigiendo que la pendiente de CD es mayor que la pendiente de la FA en lugar de la igualdad. El requisito de que los puntos se encuentran sobre una cónica significa que (*) se aplica y así no hay ninguna configuración de puntos en $y=x^2$ que define a esta preventa.