Utilidad de la 2 Categoría Estructura de $\mathsf{Top}$?

Question

Es bien sabido que el $\mathsf{Top}$ es una 2-categoria con homotopy clases de homotopies como de 2 flechas. Estoy un poco de miedo a esta pregunta, pero ¿cuál es la utilidad de este 2 de categorías de la estructura?

Sin duda, homotopy es una valiosa idea, y se podría decir que las 2 categorías de la estructura es lo que permite homotopy teoría, pero no sé lo suficiente como para tener una respuesta a eso; simplemente no me parece básico y topología algebraica topología de hacer uso de la "totalidad" de 2 categórica estructura de $\mathsf{Top}$ (o $\mathsf{Ch}_\bullet$).

Ejemplos de construcciones o los resultados que realmente se requieren las 2 categorías de la estructura (algo que en realidad requiere el intercambio de la ley, por ejemplo) sería muy apreciada!

Answer 1

Su pregunta se menciona el intercambio de la ley. El libro Nonabelian Topología Algebraica: filtrada espacios, cruzó complejos, cúbica homotopy groupoids (pdf disponible) hace indispensable el uso de este derecho en la aplicación de ciertos tipos de doble y superior groupoids a homotopy la teoría básica y la topología algebraica, sin el uso de homología singular.

Una idea es que formamos una categoría definida algebraicamente cruzado complejos, y mostrar cómo el modelo de ciertas situaciones topológico

No se utilizan mucho de $2$-categorías, pero un montón de uso de monoidal categorías cerradas, en el trato con homotopy problemas de clasificación. La configuración de todo no es tan fácil, pero la subyacente intuiciones son explicó.

Tenga en cuenta que los trabajadores de la topología algebraica de principios del siglo 20 fueron en busca de mayores dimensiones nonabelian versiones de el grupo fundamental. Sin embargo, por el intercambio de ley, doble grupos son solo abelian grupos, y la idea llegó a ser vista como un espejismo.

Pero con el doble de groupoids son más complicados que los grupos, y de manera más groupoids tienen una posibilidad de modelado de alto homotopy teoría; esto se hace no para espacios pero para el filtrado de los espacios en el anterior libro.

21 de marzo: Para una introducción a las ideas del libro en relación a la historia de la topología algebraica, ver esta presentación dada en Galway, Dec 2014. .

24 de marzo: Aquí hay un enlace a un documento sobre la doble semigroups.