¿Cómo puedo calcular la probabilidad de que el oscilador está en un cierto estado usando la función de partición?

Question

Así que digamos que tengo una sola ($N=1$) oscilador armónico cuántico, y la energía es determinado por $E_n = (n + 1/2) \cdot \hbar \omega$ (donde $n$ es el número cuántico y $n$ = $0, 1, 2, \ldots$)

¿Cuál es la probabilidad de que el oscilador está en el estado marcadas $n$ a una temperatura de $T$?

Así que de acuerdo a mis cálculos, $Z$, la función de partición, es $Z = 1 / (1 - x)$ donde $x = e^{-\beta \hbar \omega} \Rightarrow P = x ^ n (1 - x)$.

Es correcto? También, cómo hago para calcular la probabilidad de encontrar el oscilador en un estado con impar número cuántico?

Answer 1

Su cálculo se ve bien para mí (técnicamente, su función de partición debe tener un factor adicional de $e^{-\frac 12 \beta\hbar\omega}$, pero eso no es importante, pues se cancela en todos los observables).

Edit: Como en el comentario por abcXYZ, la probabilidad de encontrar el sistema en un estado correspondiente a cualquier extraño valor de $n$ es $$ P(n~\text{es impar}) = (1-x)(x + x^3 + \ldots + x^{2k-1} + \ldots) = \frac{(1-x)x}{1-x^2} = \frac{x}{1+x} $$ donde $x = e^{-\beta\hbar\omega}$. Para dar un poco de confianza que de hecho esta es la respuesta correcta, podemos marcar algunos límites:

• En $T=0$, esperamos que el oscilador a estar en su estado fundamental, y por lo tanto $n$ no puede ser impar. $T=0$ corresponde a $\beta = \infty$, y por lo tanto $x=0$, que de hecho da $P=0$ en nuestra fórmula.
• Como $T \to \infty$, esperamos que el oscilador a diseminarse en todos los autoestados de energía, y por lo tanto las probabilidades de $n$ ser par o impar a ser igual. Y, de hecho, $T \to \infty$ corresponde a $x \to 1$, por lo que nuestra fórmula da $P \to \frac 12$.

Es un buen hábito para hacer este tipo de comprobaciones simples en cualquiera de las fórmulas que se derivan.