Una ecuación polinómica de juego

Question

Alice y Bob están sentados en un ambiente cálido, acogedor salón. Tan cómoda como la habitación, no hay mucho que hacer, y pronto se encuentran más bien aburrido.

Como se puede esperar de gente como uncreatively nombrado como Alice y Bob, Alice y Bob deciden jugar a un juego. Comienzan con un monic ecuación polinómica $x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n$, donde los coeficientes $a_i$ están por determinar.

En cada turno, Alice elige un número entero, y Bob elige el coeficiente que se entero de que va a ser. Después de la elección y la colocación de todos los $n$ coeficientes, si el polinomio resultante ha $n$ distintos entero soluciones, Alicia gana. De lo contrario, Bob gana.

Para que $n$ ¿ Alice tiene una estrategia ganadora? Para $n = 1, 2$ es bastante fácil ver que ella hace. ¿Qué sucede para mayor $n$?

Answer 1

Esto es acerca de cómo me encontré con Alice estrategia para $n=3$, que sería demasiado largo para un comentario.

Alice la primera opción de $0$ fue arbitraria. Fue elegido para reducir la cantidad de los cálculos. Vamos a raíz del polinomio a ser $p, q, r$.

Si bob elige $a_3=0$, entonces Alice puede adaptar la estrategia para $n=2$.

Si bob elige $a_2=0$, sabemos que $pq+qr+rp=0$, y necesitamos encontrar los valores posibles de a $pqr$ $p+q+r$ y encontrar un entero que puede ser tanto. Para ello, tenemos que encontrar un número entero de soluciones de $pq+qr+rp=0$. Por ensayo y error, encontré $(km(m+1), k(m+1), -km)$ pueden ser las soluciones para todo entero $k, m$. A continuación, nos get$$pqr=-k_1^3m_1^2(m_1+1)^2, p+q+r=k_2(m_2^2+m_2+1)$$ and it is unlikely that $m^2+m+1$ have many prime factors, so I just chose $m_2=2$ ($1$ or $0$ will make solutions not unique). Then one of $k_1$, $m_1$, $m_1+1$ must be multiple of $7$, so I chose $k_1=1$, $m_1=6$ then $k_2=-252$. Now we have $-k_1^3m_1^2(m_1+1)^2=k_2(m_2^2+m_2+1)=-1764$ and Alice can choose $-1764$ siguiente turno. Alice elección de final de la vuelta es trivial debido a que ya hemos calculado el número entero de la solución de los candidatos del polinomio.

Si bob elige $a_1=0$, sabemos que $p+q+r=0$ o $r=-p-q$. Necesitamos encontrar los valores de $pq+qr+rp=-p^2-pq-q^2$$pqr=-pq(p+q)$, o resolver los equation$$-p_1^2-p_1q_1-q_1^2=-p_2q_2(p_2+q_2)$$For convenience, I chose $q_1=0$ and tried to find how to make RHS perfect square. Let $q_2=kp_2$, then we get $p_1^2=k(k+1)p_2^3$. Now I chose the smallest numbers come in mind, that is, $k=2$, $p_2=6$ and $p_1=36$. Then we get $-p_1^2-p_1q_1-q_1^2=-p_2q_2(p_2+q_2)=-1296$.