Calcula: $\frac{1}{2! \cdot 2} + \frac{1}{4! \cdot 4} + \frac{1}{6! \cdot 8} + \frac{1}{8! \cdot 16} + ...$

Question

Tarea de un antiguo examen:

Calcular (expresar sin una suma infinita): $$\frac{1}{2! \cdot 2} + \frac{1}{4! \cdot 4} + \frac{1}{6! \cdot 8} + \frac{1}{8! \cdot 16} + ...$$

Creo que esto significa que en el camino a la solución, se nos permite utilizar el símbolo de la suma, pero el resultado final puede no estar en un símbolo de la suma. Si no, no veo otra forma de resolver esta tarea.

En resumen, lo anterior sería:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!\cdot 2^{n}}$$

Y ahora hay que hacer algo para que se elimine el símbolo de la suma pero no tengo ni idea de qué puede ser...

¿Qué hay de ver $$\frac{1}{(2n)!\cdot 2^{n}}$$ como una función y usar la serie de Taylor en esto? Pero no, sería demasiado difícil derivar algo así y con factorial.. y no creo que tenga sentido decir "¡Eh, vamos a sustituir este símbolo de suma por una función y decir que esta cosa es una función ahora!"

Pero, ¿qué otra cosa puedo hacer en una situación como ésta? Si está haciendo algo complicado, por favor, explíqueme. Tengo grandes problemas para entender las cosas.

Answer 1

Obsérvese que la suma son los términos pares de $f(x)=\sum \frac{x^n}{n!}$ evaluado en $x=\sqrt{2}/2$ (pero ignorando el $0$ término). Esta es la serie de Taylor para $e^x$ . Para eliminar los términos impar, tomamos $(f(x)+f(-x))/2=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ . Para eliminar el $0$ término, restamos $f(0)$ . Si lo juntamos todo, la suma es $\frac{e^{\sqrt 2/2}+e^{-\sqrt 2/2}}{2}-1$ .

Answer 2

Serie taylor de $\cosh x$ es $$\cosh x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

$$\cosh x=1+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ dejar $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ $$\cosh \frac{1}{\sqrt{2}}=1+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}(2n)!}$$

Answer 3

En este caso, estamos tratando de entender la función $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{2^{-n}}{(2n)!}$ .

Ahora bien, si esto le recuerda a algo, es a la serie del coseno, donde los coeficientes son también de denominador $(2n)!$ Por lo tanto, nos gustaría algo así como $(x^{2n}) = 2^{-n}$ de modo que podemos escribir la expresión como $\cos(x) - 1$ (debido a que la serie del coseno comienza desde cero, tenemos que restar $1$ para ocuparse de ese índice) y listo. Este $x$ se ve que es $i 2^{-0.5}$ . Por lo tanto, podríamos escribir $\cos(2^{-0.5}i) - 1$ . Utilizando el resultado de que $\cos(ix) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$ vemos la respuesta como $\dfrac{e^{(2^{-0.5})} + e^{(-2^{-0.5})}}{2} -1$ .

Como heurística, siempre hay que tener a mano las series de Taylor y, sobre todo, cuando los coeficientes son reconocibles, las expansiones de las series del coseno y del seno resultarán útiles, como ocurrió en este caso.