Diferenciación compleja bajo el signo integral (Ahlfors)

Question

En el texto de Análisis Complejo de Ahlfors, página 202, afirma que en $\{ \Re z>0 \} $ $$ \frac {d}{dz} \int_0 ^ \infty \frac {2 \eta }{ \eta ^2+z^2} \frac { \mathrm d \eta }{e^{2 \pi \eta }-1}=- \int_0 ^ \infty \frac {4 \eta z}{( \eta ^2+z^2)^2} \frac { \mathrm {d} \eta }{e^{2 \pi \eta }-1} $$ "porque la integral en el RHS converge uniformemente cuando $z$ está restringido a cualquier conjunto compacto en el medio plano $x > 0$ ."

No veo por qué es ese el caso. Intenté formar el cociente $ \frac {F(z+ \Delta z)-F(z)}{ \Delta z}$ pero no puedo ver dónde hace efecto su comentario.

¿Por qué es válido su razonamiento?

Answer 1

Sin usar la teoría de Lebesgue, el paso $$ \frac { \partial }{ \partial z} \int_0 ^t F(z, \eta ) \, d \eta = \int_0 ^t \frac { \partial }{ \partial z} F(z, \eta ) \, d \eta $$ requiere una continuidad conjunta en $z$ y $ \eta $ de $F$ y su derivada parcial, sin necesidad de ningún tipo de convergencia uniforme.

Sin embargo, el paso $$ \frac { \partial }{ \partial z} \lim_ {t \rightarrow \infty } \int_0 ^t F(z, \eta ) \, d \eta = \lim_ {t \rightarrow \infty } \frac { \partial }{ \partial z} \int_0 ^t F(z, \eta ) \, d \eta $$ se justifica por la convergencia uniforme como $t \rightarrow \infty $ .

Añadido más tarde para elaborar:

Set $$G(z,t) = \int_0 ^t F(z, \eta ) \, d \eta. $$ Debemos justificar la declaración: $$ \frac { \partial }{ \partial z} \lim_ {t \rightarrow \infty } G(z,t) = \lim_ {t \rightarrow \infty } \frac { \partial }{ \partial z} G(z,t).$$ Ahora aplicamos un teorema estándar sobre el intercambio de límites y derivados, utilizando

(1) $G(z,t)$ converge de forma puntual (es decir, para cada $z$ ) en el plano de la mitad derecha para $ \int_0 ^ \infty F(z, \eta ) \, d \eta $ ,

(2) todos los $G(z,t)$ son diferenciables en $z$ y

3) los derivados $ \frac { \partial }{ \partial z} G(z,t) = \int_0 ^t \frac { \partial }{ \partial z} F(z, \eta ) \, d \eta $ convergen uniformemente en $ \int_0 ^ \infty \frac { \partial }{ \partial z} F(z, \eta ) \, d \eta. $

Answer 2

Me convencí del comentario de Ahlfor esta mañana mostrando primero el reclamo a continuación.

Reclamar: Deje que $g(z, \eta )$ ser analítico en $z$ para el fijo $ \eta $ conjuntamente continuado en $(z, \eta )$ y dejar que $ \int _0 ^{ \infty } g(z, \eta ) d \eta $ convergen uniformemente en subconjuntos compactos del semiplano derecho abierto. Para cada $ \eta $ definir un antiderivado de $g(z, \eta )$ por $$ G(z, \eta ) = \int _1 ^ z g( \zeta , \eta ) d \zeta $$ Luego $$ \frac {d}{dz} \int _0 ^{ \infty } G(z, \eta ) d \eta = \int _0 ^{ \infty } g(z, \eta ) d \eta $$

Una vez que tenga esto, puede verificar la afirmación de Ahlfors usando $g(z, \eta ) = \frac {2z}{( \eta ^2 + z^2)^2}$ y luego notando que $$ \frac {1}{ \eta ^2 + z^2} = G(z, \eta ) + \frac {1}{ \eta ^2 + 1} $$

Prueba de la reclamación: Defina $$f_t(z) = \int _0 ^{t} g(z, \eta ) d \eta $$ y $$f(z) = \int _0 ^{ \infty } g(z, \eta ) d \eta $$

Al integrarse alrededor de caminos cerrados, usando el teorema de Fubini y luego el teorema de Morera, mostrar a cada uno $f_t$ es analítica en medio plano. $f_t \to f$ uniformemente en subconjuntos compactos de medio plano derecho abierto, así que $f$ también es analítico allí. Desde $f_t \to f$ uniformemente en compacta, consigue $ \int _1 ^z f_t \to \int _1 ^z f$ como $t \to \infty $ . Así que tenemos \begin {alinear} \int _1 ^z \int _0 ^{ \infty } g( \zeta , \eta ) \ d \eta \ d \zeta &= \int 1 ^z f( \zeta , \eta ) \ d \zeta \\ &= \lim _{t \to \infty } \int 1 ^z f_t( \zeta , \eta ) \ d \zeta \\ &= \lim _{t \to \infty } \int _1 ^z \int g( \zeta , \eta ) \ d \eta \ d \zeta \\ &= \lim _{t \to \infty } \int _0 ^{t} \int 1 ^z g( \zeta , \eta ) \ d \zeta \ d \eta \\ &= \lim _{t \to \infty } \int G(z), \eta ) \ d \eta \\ &= \int _0 ^{ \infty G(z), \eta ) \ d \eta \end {alinear}