Son electrodinámica de los problemas en el plano complejo relevante en la vida real?

Question

He estado leyendo Tristán Needham excelente Visual de Análisis Complejo. Al final del libro se dedica casi en su totalidad con la física, el uso de las simetrías de la conformación de las asignaciones para generalizar el famoso método de las imágenes de la técnica en la electrodinámica. El método de imágenes se utiliza para encontrar el campo eléctrico debido a una carga cuando una superficie conectada a tierra (como una esfera o plano) está cerca. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_image_charges

Sin embargo, los problemas que parecen tener muy poco de la vida real "aplicaciones" para mí, el principal problema es que el complejo es un plano de dos dimensiones, considerando que vivimos en un 3 dimensiones mundo.

Para ver este problema en concreto, la fuerza electrostática se va como $F\sim \frac{1}{r^2}$ debido a que el área de la superficie de una bola de radio $r$ centrado en la carga es proporcional a $r^2$. Sin embargo, desde el plano complejo es de 2 dimensiones, un cargo en el plano complejo produce un campo que va como $\frac1r$. Por lo que cualquier solución nos encontramos con un problema de este tipo en el plano complejo no es relevante en 3d.

Y esta es mi pregunta, ¿hay algún físico de la aplicación de esta técnica? O es completamente irrelevante?

Answer 1

Lo de tom respuesta debe convencer es de que los problemas con una 1d simetría traslacional son esencialmente 2d problemas, y como tal puede atacar con cualquier y todos los métodos que son válidos en 2d. Que incluye el uso de análisis complejo.

Por supuesto, no es necesario utilizar el análisis complejo si no quieres. 2d vector de análisis es perfectamente válido en su lugar, y creo que se aprecia que muchos de los complejos análisis de los resultados reales de análisis de vector de contrapartes-que, de hecho, a menudo se extienden a 3d y más allá.

Un ejemplo de esta noción es el teorema de los residuos. Deje $q$ el residuo en un punto contenido en una curva cerrada $C$. Entonces, si hay una función de meromorphic $f$ tener ese residuo en algún lugar dentro de la región delimitada, el residuo teorema nos dice

$$\oint_C f(z) \, dz = 2 \pi i q$$

Considere la posibilidad de Gauss la ley. Deje $E$ ser el campo eléctrico y que haya un punto de carga con carga en $Q$ dentro de poco de la superficie de $S$. Luego de Gauss, la ley nos dice

$$\oint_S E \cdot \hat n \, dA = Q/\epsilon_0$$

Estos son de la misma idea básica. Cuando una función tiene sólo el punto de origen de las singularidades en una región, la integral de la función sobre la delimitación de la superficie se caracteriza por algunos intrínseca número de asociados con cada punto de origen. (La diferencia de aquí, en que los residuos del teorema de ha $2\pi$ mientras que la de Gauss, la ley no tiene $4\pi$ podría ser atribuido a la elección de las unidades, o a la elección de la definición de residuos de la manera en que lo hacemos.)

La comprensión de la conexión entre el análisis complejo y el análisis vectorial debe hacer el uso de la antigua métodos más comprensible y menos raro en contextos en los que tal es la adecuada. Personalmente, yo nunca lo haría, nunca uso el análisis complejo si me podría ayudar. El total de la mentalidad de los divorcios que a partir del vector de análisis y trucos a pensar que estamos haciendo algo fundamentalmente diferente cuando no estás. Pero hay una clara relación matemática entre las disciplinas, y como tal, no es inherentemente extraño para cambiar entre uno u otro según sea necesario.

Answer 2

En trifásico de transformadores de alta tensión esta es una cuestión importante. Armónico de la cancelación es la principal de la investigación de algunos de los ingenieros de la energía. Este es el mismo en las transmisiones de radio ondas. Este mundo se ha vuelto extremadamente compleja en los últimos 20 años, como intentar comprender una muy escondido problema. Esto está empezando a parecer una ley no escrita de la naturaleza que no podemos poner nuestro dedo por completo. Así que sí, estos son relevantes para nuestro mundo, pero la verdad es que si no entendemos algo que podemos hacer de nuestro estudio más complejo con la esperanza de encontrar la solución. Solo recuerden que es bueno ver cómo otros han tratado de entender las cosas, pero la solución es mucho más fácil de lo que pueden ver.

Answer 3

La teoría de los números complejos es muy útil a la hora de resolver la ecuación de Laplace en 2d $$ \Delta \phi = 0 $$

Si usted transformación armónica con la función de mapa de conformación de nuevo llegar armónico de la función. Junto con el mapeo de Riemann teorema de obtener poderosa herramienta para la solución de la ecuación de Laplace.

Por ejemplo(aquí no estás usando el mapeo de Riemann teorema) encuentre el campo electrostático entre dos círculos(no necesariamente concéntricos). Usted puede encontrar el campo electrostático entre dos planos y de transformar esta solución de Möbius transformación a los dos círculos.

O puede ser utilizado en la dinámica de fluidos. Si tratas de resolver potencial de flujo de nuevo a resolver la ecuación de Laplace, así que usted puede utilizar estas técnicas para hacer su vida más fácil.

Como comentarios a la pregunta declaró que no hay ningún problema de estas técnicas pueden ser utilizadas sólo en 2d. A menudo se resuelven problemas con simetrías. Por ejemplo, cuando se desea calcular el flujo detrás del cilindro, usted se imagina que el cilindro infinitamente largo, así que, básicamente, usted puede olvidarse de una dimensión.