La prueba de una desigualdad

Question

Supongamos $a$ $b$ son números reales. Probar que si $a<b$$\frac{a+b}{2}<b$.

La 'solución' sugerencias en la adición de $b$ a ambos lados de la desigualdad $a<b$, e $a+b<2b$ es de lo que tengo (no sé la razón por la adición de $b$ a ambos lados, ya sea - o más bien, ¿por qué pensarías que añadir el $b$ a cada lado para ayudar a terminar la prueba, en lugar de hacer algo más) - Me gustaría saber qué hacer a continuación.

Fuente de ejercicio: Cómo Probar: Un Enfoque Estructurado, Segunda Edición - Daniel J. Velleman.

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Gracias por las respuestas. Es la siguiente solución de prueba suficiente, o hay algo que me falta?

Prueba. Supongamos $a$ $b$ son números reales, y $a<b$. La adición de $b$ a ambos lados de la desigualdad $a<b$, obtenemos $a+b<2b$. Posteriormente, podemos dividir ambos lados por 2, para obtener $\frac{a+b}{2}<b$. Por lo tanto, si $a<b$, esto nos indica que $\frac{a+b}{2}<b$.

Answer 1

La razón por la adición de $b$ a ambos lados es la que usted desea conseguir a $a+b$. Una vez que has conseguido $a+b < 2b$, se puede dividir ambos lados por $2$. La razón para hacer esto es que usted desea $(a+b)/2$. Aquí es importante que las $2$ es positivo: si se dividen ambos lados por un número negativo, entonces usted tendría que cambiar $<$$>$, pero desde $2$ es positivo, $<$ permanece $<$.

Answer 2

Aquí está una manera de pensar acerca de esto:

Tenemos $a < b$, pero queremos que $a+b$ en el lado izquierdo. Así, una manera fácil de ir de $a$ $a+b$sobre el lado izquierdo es para agregar $b$ a la izquierda lado, y ya que no podemos simplemente añadir cosas a un lado de la desigualdad, que es mejor agregar de a $b$ a ambos lados. En este momento, estamos tratando de las cosas; no hay epifanía de que "Oh, por supuesto que esto va a funcionar!", acaba de meter en el problema y ver lo que podemos hacer con ella.

Answer 3

Su prueba es irreprochable. Por supuesto, usted está asumiendo que la adición de la misma cosa a ambos lados conserva el orden, y que, dividiendo ambos lados por un número positivo que también preserva el orden. Sin embargo, estos son por ahora a considerar el estándar de los hechos en el curso. Tal vez debería haber dicho "Desde $2$ es positivo, podemos $\dots $". Pero eso puede que sea demasiado quisquilloso.

El "truco" de la adición de $b$ a ambos lados es bastante natural. Sólo tiene un leve soplo de magia.

Tal vez usted hizo lo siguiente antes de la escritura de la prueba, por lo menos espero que lo hizo. En un "número de línea", poner un punto de $a$, uno para $b$, y uno para $(a+b)/2$, a mitad de camino entre ellos. Esto termina las cosas, ahora sé que el resultado es cierto. Sólo queda escribir los detalles, el uso de las notaciones y herramientas de su curso. (Theo Buehler escribe acerca de la geometría en un comentario que es mucho más importante que la pregunta que llevó a ella.)

La geometría sugiere el siguiente método alternativo. Recordemos que $x<y$ fib $y-x>0$. Por lo que es suficiente para demostrar que $ b-\frac{a+b}{2}>0 $. Pero tenemos $$b-\frac{a+b}{2}=\frac{2b-(a+b)}{2}=\frac{b-a}{2}>0$$ (la desigualdad de $\frac{b-a}{2}>0$ sigue de $a<b$.)

Un poco más complicado, pero surge de una comprensión de lo que sucede debajo. Y no dice más que el simple hecho de que $b>(a+b)/2$. Se dice por cuánto $b$ es mayor que $(a+b)/2$.

Por el camino, por complicadas expresiones $X$$Y$, una de las estrategias estándar para mostrar que $X<Y$ es para mostrar que $Y-X>0$.

Comentario: de nuevo a su solución. En el manipulational nivel, tal vez así es como yo creo. Quiero mostrar que la $\frac{a+b}{2}<b$. Las fracciones son desagradables, son "roto" números (que es la correcta etimología). Así que vamos a deshaga la ruptura de las fracturas.

Tenga en cuenta que el deseado desigualdad se cumple el fib $a+b <2b$. Y $a+b<2b$ es una obvia consecuencia de la $a<b$. Ahora podemos ocultar el razonamiento que condujo a la solución por escrito de la prueba hacia atrás. O no.

Answer 4

Aquí es cómo iba a descubrir que uno necesita para agregar, o en lugar de restar, $\;b\;$, sin ningún tipo de "magia": me gustaría empezar en la mayoría de los complejos de lado, y simplificar partir de ahí, de la siguiente manera:

\begin{align} & \tfrac {a+b} 2 < b \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"arithmetic: multiply both sides by 2 -- to simplify the left hand side"} \\ & a+b < 2 \times b \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"subtract %#%#% from both sides -- to simplify both sides at the same time"} \\ & a < b \\ \end{align}

Y ya estamos hecho.

Ahora, algunos llaman a esto la prueba 'hacia atrás'. Sin embargo, la simplificación de la $\;b\;$ es mucho más fácil que tratar de agregar información a $\;\tfrac {a+b} 2 < b\;$: en el cálculo anterior, en cada punto no hay mucha elección acerca de qué hacer a continuación, mientras que $\;a < b\;$ es un punto de partida que permite demasiada elección.

También, tenga en cuenta cómo el anterior no sólo demostrar la necesaria "si $\;a < b\;$$\;a < b\;$", pero esto resulta el más fuerte de equivalencia $$ \tfrac {a+b} 2 < b \;\equiv\; a < b $$ para cualquier real $\;\tfrac {a+b} 2 < b\;$.

Por último, los de arriba "cálculo" de la prueba (formato diseñado por Scholten y Dijkstra, y se utiliza también en el Gries-Schneider libro) es conciso y fácil de leer al mismo tiempo.