Demostrar $\lim\limits_{n \to \infty} \sup \left ( \frac{(2n - 1)^{2n - 1}}{2^{2n} (2n)!)} \right ) ^ {\frac 1 n} = \frac {e^2} 4$

Question

Este es un problema de Heuer (2009) "Lerbuch der Análisis Teil 1" en la página 366. Supongo que la prueba debe usar $e = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac 1 {k!}$, pero no puedo ir más lejos.

Answer 1

Si $a_n=\frac{(2n - 1)^{2n - 1}}{2^{2n} (2n)!}$. Calcular el límite de

$$\begin{align}\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}&=\lim \frac{\frac{(2n + 1)^{2n + 1}}{2^{2n+2} (2n+2)!}}{\frac{(2n - 1)^{2n - 1}}{2^{2n} (2n)!}}\\&=\lim\frac{(2n+1)(2n+1)}{4(2n+1)(2n+2)}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{2n-1}\\&=\frac{1}{4}\lim\left[\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{\frac{2n-1}{2}}\right]^2\\&=\frac{1}{4}e^2\end{align}$$

Desde $\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{e^2}{4}$ se sigue que $\lim a_n^{1/n}=\frac{e^2}{4}$.

Answer 2

Sugerencia 1: $x = e^{\log x}$

Sugerencia 2: $\log n! = \sum\limits_{k=1}^{n} \log k $

Sugerencia 3: $\int_{1}^{n} \log x dx < \sum\limits_{k=1}^{n} \log k < \int_{1}^{n+1} \log x dx$