¿Cómo puedo expresar la segunda Hirzebruch superficie, $F_{2}$ en términos de $SO(3)$?
Es cierto que $F_{2}$ es el espacio total de un paquete de fibra de $SO(3)$$\mathbb{R}_{+}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Khushi
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Esta pregunta ha sido formulada y contestada en MathOverflow. Me han replicado la aceptó responder por Dmitri abajo.
Lo que quiere casi funciona, pero con un pequeño giro. El grupo $SO(3)$ está actuando en $F_2$, por lo que hay dos órbitas que se $\mathbb CP^1$ y todas las demás órbitas $SO(3)$. Más precisamente, $F_2$ puede ser visto como un compactification de $\mathbb R_+\times SO(3)$. De hecho, $F_2$ puede ser visto como un compactificaton de $(\mathbb C^2\setminus 0)/\pm Id$, e $\mathbb C^2\setminus 0\cong \mathbb R_+\times SU(2)$. Aquí $\mathbb R_+$ significa positivos reales.
Detalles. Cada Hirzebruch superficie $F_n$ puede ser obtenida por un cociente de la construcción de $F_1$. Recordar, que el $F_1$ es la superficie que se obtiene por un golpe de un solo punto en $\mathbb CP^2$. I. e., nosotros "reemplazar" un punto en $\mathbb CP^2$$\mathbb CP^1$. Por supuesto, todos sabemos que $SU(2)$ está actuando en $\mathbb CP^2$, la fijación de una línea y un punto en el infinito (acaba de tomar la costumbre de acción de $SU(2)$ $\mathbb C^2$ fijación $0$ y extenderla a la acción en $\mathbb CP^2$). Cuando nos explotan $0$ $\mathbb CP^2$ la acción de la $SU(2)$ se extiende en $F_1$.
Ahora, $F_n$ puede ser obtenida a partir de a $F_1$ por el cociente, $F_n\cong F_1/\mathbb Z_n$ donde $\mathbb Z_n$ es el grupo de escalar de matrices generadas por $e^{2\pi i/n}\times Id$ actuando en la forma estándar en $\mathbb C^2$ (y, por tanto, en $F_1$). Por último, observe que en el caso de $F_2$ el grupo correspondiente $\mathbb Z_2$ pertenece a $SU(2)$ (desde $det(-Id)=1$). Y desde $SO(3)\cong SU(2)/\mathbb Z_2$ esto explica que, esperemos, la construcción.
Por supuesto, todo esto es completamente clásica, pero no puedo dar una referencia de la parte superior de mi cabeza.
