Mentira Derivados de Cuña Producto de Campos Vectoriales

Question

Estoy teniendo problemas aquí. El contexto es: Dejar $X$, $Y$ y $S$ campos vectoriales ina de un colector (podemos suponer que es $\mathbb{C}^2$ a pesar de que estoy bastante seguro de que esto debería funcionar en cualquier colector), y podemos trabajar bien con el exterior del producto o de la cuña de producto de campos vectoriales, ya que son los tensores.

Necesito saber si la leche de fórmula $$ \mathcal{L}_X(S\wedge Y)=\mathcal{L}_X(S)\wedge Y+S\wedge\mathcal{L}_X(Y) $$

Sé que esto es verdad cuando $X$, $Y$ y $S$ son formas diferenciales. La demostración es basd únicamente en la propiedad que dice que, para los tensores de los campos, tenemos $$ \mathcal{L}_X(S\otimes Y)=\mathcal{L}_X(S)\otimes Y+S\otimes\mathcal{L}_X(Y) $$

Yo no creo que pueda decir que, dado que es correcta para el producto tensor, sería para el exterior del producto. Supongo que debe utilizar el hecho de que los campos vectoriales son antissimetric 1-lineal de las formas y el uso del operador (en mi referencia es el llamado "anti-simetrization operador") $$ \mathcal{\alpha}(X)=\sum_{s\in \mathcal{G}_p} \epsilon (s)s\circ X $$ donde $\mathcal{G}_p$ es el conjunto o permitations de $p$ los índices y la composición significa una permutación de los índices de la base de elementos de $X$. La aplicación de $\alpha$ vuelve lineal de p-formas en antissimetric formas y, a continuación, hemos exterior producto de aquellos. Si $X$ ya está antissimetric, a continuación,$\alpha(X)=p!X $.

Ahora, también tenemos la definición $$ X\wedge Y=\dfrac{1}{p!q!}\alfa (X\otimes Y) $$

Así que supongo que puedo argumentar que $\alpha (X\otimes Y)=(p+q)!(X\otimes Y)$, y los cálculos de trabajo, que es, me da la expresión de $\mathcal{L}_X(S\wedge Y)=\mathcal{L}_X(S)\wedge Y+S\wedge\mathcal{L}_X(Y)$ como yo quería. Pero no sé con certeza si esto es correcto. Estoy tratando de auto-aprender algo sobre los tensores.

Alguien me puede decir si es correcto y, si no, me apunte mis errores? $$ $$

Answer 1

Consideremos el siguiente configuración general. La necesitamos para demostrar la declaración.

• La dirección general de Mentira álgebra de poli-campos vectoriales

Deje $M$ ser un verdadero colector de dimensión $n$ sobre el campo de tierra $\mathbb K$. Vamos $$\operatorname{T}^{\bullet}_{poly}(M):=\mathcal C^{\infty}(M)\otimes_{\mathbb K}\wedge^{\bullet+1}\operatorname{T}(M) $$

ser el álgebra de poli campos vectoriales en $M$. Nota el cambio de clasificación: por ejemplo, los campos vectoriales son polyvectors de grado $0$.

Existe una estructura de diferencial graduada Mentira álgebra en $\operatorname{T}^{\bullet}_{poly}(M)$ da de la siguiente manera. El diferencial es igual a $0$. La Mentira de soporte es el corchete de Schouten $[\cdot,\cdot]_\mathcal{S} $ dada por

$$[e_1 ∧ ... ∧ e_k, \eta_1 ∧ ... ∧ \eta_l]_\mathcal{S} = \\ \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^l(-1)^{i+j}\mathcal L_{e_i}(\eta_j)\wedge e_1 \wedge\dots\wedge\hat{e}_i\wedge\dots\wedge e_k\wedge \eta_1\wedge\dots\wedge\hat{\eta}_l\wedge\dots\wedge\eta_l, $$ para todos los $e_{\bullet}$ $\eta_{\bullet}$ $\operatorname{T}^{0}_{poly}(M)$ y que denota la omisión por $\hat{\cdot}$. Tenga en cuenta que el corchete de Schouten reduce a la Mentira de soporte

$$\mathcal L_X(Y):=[X,Y],$$

en $\operatorname{T}^{0}_{poly}(M)$.

En resumen, el uso de algunas larga pero sencilla los cálculos, se puede probar que

$$(\operatorname{T}^{\bullet}_{poly}(M),0,[\cdot,\cdot]_\mathcal{S}) $$

es un dg Mentira álgebra (no quiero introducir la definición exacta y además hablar de la clasificación). Tenga en cuenta que también hemos asociativa del producto, es decir, el producto exterior. En otras palabras, la estructura en $\operatorname{T}^{\bullet}_{poly}(M)$ es aún más rica, pero vamos a saltar la discusión acerca de Gerstenhaber álgebras.

• Declaración en el OP

En la configuración anterior, la declaración original es equivalente a

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Para todos los $X,Y,S\in \operatorname{T}^{0}_{poly}(M)$ la identidad

$$[X,S\wedge Y]_\mathcal{S}=[X,S]\wedge Y+S\wedge[X,Y]~~(*) $$

sostiene.

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En el l.h.s. de $(*)$ es necesario considerar el corchete de Schouten porque $S\wedge Y\in \operatorname{T}^{1}_{poly}(M)$.

Vamos a demostrar que, por la definición de la corchete de Schouten

$$[X,S\wedge Y]_\mathcal{S}=(−1)^{1+1}\mathcal L_{X}(S)\wedge Y+(−1)^{1+2}\mathcal L_{X}(Y)\wedge S=\mathcal L_{X}(S)\wedge Y-\mathcal L_{X}(Y)\wedge S, $$

o

$$[X,S\wedge Y]_\mathcal{S}=\mathcal L_{X}(S)\wedge Y+S\wedge\mathcal L_{X}(Y), $$

como se reivindica. Esto termina la prueba.

Answer 2

@Marra: Avirus dio una buena explicación de la Schouten-Nijenhuis soporte (útil en la geometría de Poisson). Si desea conocer la Mentira de derivados del exterior del producto $\mathscr{L}_X(Y\wedge Z)$, entonces usted puede comenzar a partir de la definición, para cualquier campo tensorial $T$: $$\mathscr{L}_X T=\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}(\exp tX)^*T$$ donde $\exp tX$ el flujo local de $X$. Desde allí se puede demostrar que, para cualquier tensor de campos de $S$$T$, que $$\mathscr{L}_X(S\wedge T)=\mathscr{L}_X S\wedge T+S\wedge\mathscr{L}_X T.$$ Por último, es útil tener en mente que una Mentira derivada es siempre una derivación: $$\mathscr{L}_X(fg)=\mathscr{L}_X(f)g+f\mathscr{L}_X(g),\ \forall f,g\in C^\infty(M).$$ $$\mathscr{L}_X(\alpha\wedge\beta)=\mathscr{L}_X\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge\mathscr{L}_X\beta,\ \forall\alpha,\beta\in\Omega^*(M).$$ $$\mathscr{L}_X<\alpha,Y>=<\mathscr{L}_X\alpha,Y>+<\alpha,\mathscr{L}_X Y>,\ \forall\alpha,\in\Omega^1(M),\ \forall Y\in\mathcal{X}(M).$$ y la definición general de una derivación: si $(\mathcal{A},\cdot)$ es un álgebra, una derivación en $\mathcal{A}$ es lineal mapa de $\delta : \mathcal{A}\to\mathcal{A}$ de manera tal que, $$\delta(x\cdot y)=(\delta x)\cdot y+x\cdot(\delta y).$$ P. S: lo Siento por mi mal inglés!