¿En qué orden se construyen las matemáticas sobre sí mismas?

Question

Muchas veces me he encontrado con pruebas matemáticas, teoremas, conjeturas y, en general, cosas interesantes. Por ejemplo:

• Conjetura de los primos gemelos
• Problemas del Milenio
• Teoría de Ramsey
• La última de Fermat
• Hipótesis de Reimann
• Función Zeta de Reimann
• Teoría de Galois / Grupos de Galois

Y, por supuesto, me gustaría mucho entenderlas en la medida de lo posible. Cuando voy a las páginas de Wikipedia de estos temas, por ejemplo, me encuentro con mucha terminología y conceptos desconocidos.

Mi pregunta sería, ¿por dónde debería empezar, para tratar de entender, digamos, la prueba de Andrew Wiles?

Acabo de terminar con mucho éxito el Cálculo AB, y aunque sé que puede faltar mucho para que pueda entender completamente estas cosas avanzadas, estoy ansioso por empezar por algún lado. He visto una serie de conferencias universitarias sobre "Matemáticas superiores 101", pero realmente quiero entrar en el meollo de las cosas.

(Por cierto, no sabía cómo etiquetar esto)

Answer 1

No basta con dominar el cálculo de nivel AB en absoluto para poder entender algunos trabajos muy complejos en teoría de números, álgebra abstracta u otros campos.

Mi mejor consejo, es seguir por orden los libros enumerados aquí para entender todos los temas, desde los más básicos hasta los más complejos.

Para mantener la motivación, no olvides leer el Princeton Companion to mathematics de vez en cuando.

Answer 2

El Riemann $\zeta$ para argumentos reales $>1$ es $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^s$ . Entonces, ¿cómo se define si $s$ no es real o si la parte real de $s$ es menor que $1$ ? Fíjate que probablemente al menos puedas entender que pregunta sin saber nada más allá del cálculo de primer año. Si sabe que $n^s= e^{s\log_e n}$ y que $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ entonces es un paso en esa dirección. En cuanto a por qué $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ El hecho de que la multiplicación por $i$ es lo mismo que girar $90^\circ$ en sentido contrario a las agujas del reloj.

A menudo, la forma en que se presentan los temas es lógicamente rigurosa, y eso significa, en efecto, que se describe un argumento que sería aprobado por un sólido algoritmo de comprobación de pruebas. Normalmente no se escribe lo suficiente como para entregárselo a un algoritmo de este tipo, pero se describe de tal manera que un matemático que lea el argumento pueda hacerlo.

Con muchos temas se puede aprender bastante antes de llegar al punto en el que se puede entender un relato lógicamente riguroso. Pero el plan de estudios de matemáticas no está diseñado en muchos aspectos para facilitar eso. Por ejemplo, puedo dar un argumento intuitivo rápido para la proposición de que $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ y de forma similar para el seno y el coseno, y así "demostrar" la afirmación anterior sobre $e^{i\theta}$ . Si no se insiste en el rigor lógico en el encuentro inicial con un tema, puedo decir algo así: Definir el $\zeta$ función para $s>1$ como en el caso anterior, entonces digamos que para los números reales $s$ cerca de $2$ , uno tiene $\zeta(s) = \sum_{n=0}^\infty c_n(s-2)^n$ y luego aplicar esa serie cuando $s$ está cerca $2$ pero no es real, entonces digamos que es $\zeta(s)$ para los no reales $s$ . No es la menor de las preocupaciones que se derivan de la deficiencia de rigor lógico en este argumento es si empiezo con $2$ y se comienza con $1.9$ , ambos obtenemos el mismo valor de $\zeta(1.8+0.1i)$ ? Creo que aprender cosas así, con la conciencia de que no son rigurosas, puede hacer que te confundas menos cuando más tarde llegues al punto en que puedas aprender la versión rigurosa de las mismas.