Tengo un problema con la derivación completa de la distribución condicional de los coeficientes de regresión en un simple Bayesiano de regresión. El origen de las siguientes ecuaciones es:
- Lynch (2007). Introducción la aplicación de la Estadística Bayesiana y de Estimación para los Científicos Sociales, página 170 y 171.
La distribución posterior (con el uniforme de los priores de todos los parámetros) está dada por: $$ P(\beta \sigma | X, Y) \propto (\sigma^{2})^{-(n/2+1)} \exp\{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(Y-X\beta)^{T}(Y-X\beta)\} $$
Por tanto, el pleno de la distribución condicional del coeficiente de $\beta$ sólo requiere que el kernel: $$ \exp\{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(Y-X\beta)^{T}(Y-X\beta)\} $$ donde $\beta$ $p$ dimensiones vector de parámetros $X$ $n\times p$ predictor de la matriz y $Y$ $n$ dimensiones del vector de respuestas.
Esto puede ser ampliado a: $$ \exp\{ -\frac{1}{2\sigma^{2}} [Y^{T}Y - Y^{T}X\beta \beta^{T}X^{T}Y + \beta^{T}X^{T}X\beta] \} $$
Puesto que Y es constante con respecto a $\beta$, que se puede quitar y el centro de los dos términos pueden ser agrupados juntos. Esto conduce a: $$ \exp\{ -\frac{1}{2\sigma^{2}} [ \beta^{T}X^{T}X\beta - 2\beta^{T}X^{T}Y ] \} $$ El siguiente paso que me confunde. El autor se multiplica toda la ecuación por $(X^{T}X)(X^{T}X)^{-1}$. El problema no es la multiplicación de sí mismo. Sus autores resultado: $$ \exp\{\frac{1}{2\sigma^{2} X^{T}X)^{-1}} [\beta^{T}\beta - 2\beta^{T}(X^{T}X)^{-1}(X^{T}Y) ] \} $$ Lo que es confuso para mí es la multiplicación dentro de los corchetes. Para mí pre-multiplicando por $(X^{T}X)^{-1}$ conduce a: $$ (X^{T}X)^{-1}\beta^{T}X^{T}X\beta - 2(X^{T}X)^{-1}\beta^{T}X^{T}Y $$
¿Por qué se permitió a los términos de intercambio $\beta^{T}$$(X^{T}X)^{-1}$?
Desde $\beta^{T}X^{T}X\beta$ le da un valor escalar y multiplicando por $(X^{T}X)^{-1}$ resultados en una matriz cuadrada, este no es el mismo que $\beta^{T}(X^{T}X)^{-1}(X^{T}X)\beta$. Pero el autor parece ignorar esta en su solución. Lo que me estoy perdiendo?
Editar
Aquí está una foto de las páginas pertinentes:
