Evaluar la integral: $\lim \limits_{n\to\infty}\int_0^1\frac{nx}{nx^3+1}$

Question

Evaluar la integral: $$\lim \limits_{n\to\infty}\int_0^1\frac{nx}{nx^3+1}dx$$

Estoy bastante atascado en cómo resolver este: $$\int_0^1\frac{nx}{nx^3+1}dx$$

o incluso obtener la integral impropia.

¿Qué puedo hacer?

Answer 1

Si usted piensa que su integral es $\int_0^1\frac{x}{x^3+1/n}$, en el límite es la integral de la $1/x^2$, por lo que usted debe esperar que divergen.

A continuación, puede hacer lo siguiente: $$ \int_0^1\frac{nx}{nx^3+1}=\int_0^1\frac{x}{x^3+1/n}\geq\int_{1/n^{1/3}}^1\frac{x}{x^3+1/n}\geq\int_{1/n^{1/3}}^1\frac{x}{2x^3}\\ \ \\=\int_{1/n^{1/3}}^1\frac1{x^2}=n^{1/3}-1. $$ Por lo $$\lim_n\int_0^1\frac{nx}{nx^3+1}=\infty.$$

Answer 2

No es tan buena, como otras respuestas, pero aún así...

Desde $\ 0<x<1$$$\int\limits_0^1\frac{nx}{nx^3+1}dx>\int\limits_0^1\frac{nx}{nx^2+1}dx=\ln\sqrt{n+1}\to\infty$$

Answer 3

Paso 1: $$\frac{nx}{nx^3+1}=\frac{x}{x^3+\frac{1}{n}}$$ Paso 2: $$\int_0^1 \frac{x}{x^3}dx~~\textrm{ diverges}$$

Answer 4

Para agregar más explícito de idioma:

Quieres cambiar el límite de la integral, es decir, a escribir

$$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) dx = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx = \int_0^1 \frac{dx}{x^2} = +\infty.$$

El Lebesgue Monotono Teorema de Convergencia permite hacer precisamente eso.