Sé el más común de la prueba de $\lim_{x\rightarrow c}x^2=c^2$. Pero me pregunto si mi alternativa de la prueba es válida y correcta. Aquí está mi prueba.
Deje $\varepsilon>0$, quiere encontrar una $\delta>0$ tal que $\forall x\in\mathbb{R},0<|x-c|<\delta\Rightarrow |x^2-c^2|<\varepsilon$
Para la comodidad de observación, supongamos que $0<|x-c|<\square$, queremos saber que $\square$ es aceptar y, a continuación, sabe lo $\delta$ a recoger. Desde $|x^2-c^2|<\varepsilon\Leftrightarrow |x+c||x-c|<\varepsilon$ y
\begin{alignat*}{3} &0<|x-c|<\square\\ \Longleftrightarrow &c-\square<x<c+\square&(except\ x=c)\\ \Longleftrightarrow &2c-\square<x+c<2c+\square\qquad&(except\ x=c)\\ \Longrightarrow &|x+c|< |2c|+\square \end{alignat*}
Así, vemos que si queremos $|x+c||x-c|<(|2c|+\square)\square<\varepsilon$ para ser verdad, tenemos que resolver una solución positiva de la desigualdad cuadrática $\square^2+|2c|\square-\varepsilon<0$, por la relación entre las raíces y el coeficiente sabemos $\square^2+|2c|\square-\varepsilon=0$ tiene exactamente uno positivo y uno negativo de la raíz. Por lo tanto la solución de la previa de la desigualdad es $(-c-\sqrt{c^2+\varepsilon},-c+\sqrt{c^2+\varepsilon})$, donde el extremo derecho es positivo. Por lo tanto, tomamos $\delta=-c+\sqrt{c^2+\varepsilon}$ para completar la prueba.
