Convergencia de un producto de variables aleatorias

Question

Sea $X_1, X_2, \dots $ una secuencia de variables aleatorias I.I.D. con pdf $f(x) = \frac{8x}{9}, 0 < x < 1.5$. ¿A qué converge el producto $\prod_1^nX_i$ en el sentido casi seguro?

¿No debería esto explotar hasta el infinito, dado que los valores más grandes son más probables y eventualmente seguirá creciendo? Gracias.

Answer 1

El PDF de $Y_i = \log X_i$ (para el cual $X_i = \exp (Y_i)$) está dado por

$$g(y)dy = f(\exp(y)) d(\exp(y)) = \frac{8}{9} \exp(2 y) dy$$

para $-\infty \lt y \le \log(3/2)$. Esta distribución tiene una media

$$\mu = \int_{-\infty}^{\log(3/2)} y g(y) dy = \log(3/2) - 1$$

y varianza

$$\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\log(3/2)} (y-\mu)^2 g(y) dy = 1/4.$$

Consecuentemente $Z_n = \sum_{i=1}^n Y_i = \log \prod_{i=1}^n X_i$ tiene una media $n\mu$ y varianza $n/4$. En particular, dado $k\gt 0$, la Desigualdad de Chebyshev afirma

$$\eqalign{ \Pr\left(Z_n \ge n\left(\mu + \frac{k}{2\sqrt{n}}\right)\right) &= \Pr\left(Z_n - n\mu \ge k\frac{\sqrt{n}}{2}\right) \\&= \Pr\left(Z_n - \mathbb{E}(Z_n) \ge k\sqrt{\text{Var}({Z_n})}\right) \\&\le \frac{1}{k^2}. }$$

Dado que $\mu = \log(3/(2e)) \lt \log(1) = 0$, $n\left(\mu + \frac{k}{4\sqrt{n}}\right)$ puede hacerse arbitrariamente negativo para $n$ suficientemente grande, independientemente del valor de $k$. En consecuencia, casi toda la probabilidad de $Z_n$ puede ser empujada arbitrariamente lejos hacia la izquierda para $n$ suficientemente grande. Equivalentemente, casi toda la probabilidad de $Y_n$ entonces estará arbitrariamente cerca de $0$.

La conclusión ahora debería ser obvia. Hacerla rigurosa (si es necesario) es simplemente una cuestión de reafirmar estas dos últimas oraciones en términos de epsilon y delta.

Answer 2

Algunas pistas para una prueba:

Demuestra, o invoca teoremas conocidos para mostrar: $$ -\infty<\mathbb E \log X_i< \log\mathbb E X_i = 0 $$

Luego demuestra, o invoca un teorema conocido para argumentar que:

$$ \sum_{i=1}^n \log X_i \to -\infty \text{ (c.s.)}. $$

Por último, toma algún $\omega\in \Omega$ donde esto se cumple y di algo sobre $\exp\{\sum_{i=1}^n \log X_i\}$ en ese $\omega.

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Algunas pistas para otra prueba:

Primero muestra que $\xi_n = \prod_{i=1}^nX_i$ es un martingala no negativa.

Si esto es cierto, entonces un teorema sobre la convergencia de martingalas da $\xi_n \to \xi$ (c.s.), donde $\xi$ es alguna v.a. con expectativa finita. Quedan dos pasos:

Muestra que en conjuntos donde $\xi>0$, $\xi_n/\xi_{n-1}=X_n\to1$.

Muestra que $| X_n - 1 | \geq \epsilon$, para algún $\epsilon > 0$ infinitas veces (c.s.).

La conclusión sigue.