Los coeficientes de Fourier de la intuición?

Question

Acabo de enterarme de series de Fourier, y esto es lo que yo interprete: Los exponenciales complejos forman una base para todas las funciones periódicas, y la serie de Fourier esencialmente descomponer la función en una suma de las funciones de base. El coeficiente de Fourier de la fórmula, a continuación, esencialmente "proyectos" de la función en el complejo exponencial para encontrar lo mucho que tiene en común con la exponencial". Yo interprete el coeficiente de Fourier de la fórmula para ser un continuo versión del producto escalar.

El uso de esta interpretación, no la fórmula sería la siguiente (donde $T_0$ es el periodo fundamental) $$ a_k = \int_ 0 ^ {T_0}x(t)e^{\frac{2\pi j kt}{T_0}}dt. $$

A mí me parece la fórmula de arriba, se encuentra la proyección de la función de $x(t)$ sobre una base de la función. La integral es esencialmente una extensión del producto escalar (producto escalar es un número finito suma del producto de los componentes, la integral anterior es una infinita suma de los productos de los componentes).

Sin embargo, la fórmula anterior es obviamente incorrecto. La fórmula correcta es $$a_k = \frac{1}{T_0}\int_ 0 ^ {T_0}x(t)e^{\frac{-2\pi j kt}{T_0}}dt.$$

1) ¿Puede alguien explicar por qué hay un signo negativo en el poder? La base tiene poderes positivos (es decir, los exponentes en la suma de Fourier no tienen potencias negativas) así que no la exponencial de la función "salpicado" también tienen una potencia positiva?

2) ¿por Qué es dividido por $T_0$?

Answer 1

La integral definida durante un periodo fundamental para la aniquila todas las exponenciales complejas, excepto para el término constante. Por lo tanto, para determinar "cuánto de $e^{2\pi in t/T}$ $f(t)$" usted tiene que hacer algo para $f$ a su vez, el "$a_\omega e^{2\pi in t/T}$ plazo" de interés en un término constante; esto se logra al multiplicar por el recíproco del complejo de poder, es decir,$e^{-2\pi in t/T}$. Por supuesto, la integración de una constante a lo largo de un intervalo de rendimiento de la constante de veces el intervalo de la longitud, por lo que para el original constante necesitamos normalizar por la longitud del intervalo.

Nota interior a los productos definidos en el complejo de espacios vectoriales incorporar conjugado-linealidad en el segundo argumento, de modo que el producto interior funciona como $\langle \vec{a},\vec{b}\rangle=a_1\overline{b_1}+\cdots+a_n\overline{b_n}$, y el poder negativo de la exponencial compleja es la de mantener esta práctica. Si no tenemos el conjugado parte de esta definición, entonces, la forma bilineal no sería muy útil para álgebra lineal propósitos - por ejemplo, no se podría utilizar para "proyecto" y "extraer" los coeficientes de un vector de la representación con respecto a una determinada base, como se está haciendo en este problema.