Dejemos que $\overline{\mathbb{Q}}$ sea el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ . Dejemos que $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}\setminus \mathbb{Q}$ y que $K \subset \overline{\mathbb{Q}}$ sea una extensión máxima de $\mathbb{Q}$ con respecto a no contener $\alpha$ (así $\alpha \notin K$ pero $\alpha$ en cada extensión no trivial de $K$ ). Sea $G$ sea el grupo de Galois de $\overline{Q}$ en $K$ . Demuestre que $G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ o $G = \mathbb{Z}_p$ ( $p$ -enteros adálicos) para algún primo $p$ .
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Primero nos ocupamos del caso $[\overline{\mathbb Q}: K]<\infty$ . En esta situación, $K$ es un campo que no es algebraicamente cerrado, pero cuyo cierre algebraico es una extensión finita. Por el teorema de Artin-Schreier, el grado de esta extensión finita debe ser $2$ por lo que en este caso se obtiene el resultado deseado.
A partir de este punto suponemos que $\overline{\mathbb Q}$ es una extensión infinita de $K$ y el objetivo será demostrar que el grupo de Galois es algún $\mathbb Z_{p}$ . Si conseguimos demostrar que las extensiones finitas de $K$ en $\overline{\mathbb Q}$ forman una torre de extensiones cíclicas de grados $p^{n}$ , $n\ge 0$ $($ uno para cada $n$$ ) $ for some prime $ p $, then we are done: it will follow from this that the Galois group of $\overline { \mathbb Q}/K $ is the projective limit of the groups $\mathbb Z/p^{n} \mathbb Z $, which is precisely $\mathbb Z_{p}$.
Primero demostramos que $K(\alpha)/K$ es cíclico de grado $p$ para algún primo $p$ . Esta extensión es de Galois: sea $\alpha=\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}$ sean las raíces del polinomio mínimo $f$ de $\alpha$ en $K$ . Cada $K(\alpha_{i})$ contiene $K$ estrictamente, por lo que, por la hipótesis de maximalidad de $K$ debe contener $K(\alpha)$ también. Dado que todos los $K(\alpha_{i})/K$ tener un título $n$ todos coinciden, lo que significa que $K(\alpha)$ es el campo de división de $f$ y, por tanto, una extensión normal de $K$ . También es finito y separable, por supuesto, por lo que la extensión es efectivamente Galois. Si su grupo de Galois no fuera cíclico de orden primo, tendría un subgrupo propio no trivial. El campo fijo de este subgrupo sería entonces una extensión de $K$ que se encuentra estrictamente entre $K$ y $K(\alpha)$ . De nuevo, esto contradice la hipótesis de maximalidad de $K$ y termina la prueba del hecho de que $K(\alpha)/K$ es cíclico de grado $p$ .
Ahora demostramos que todas las extensiones finitas de $K$ en $\overline{\mathbb Q}$ tener orden $p^{n}$ para algunos $n\ge 0$ . Supongamos lo contrario. Entonces podemos encontrar una extensión de Galois $F/K$ cuyo grado no es una potencia de $p$ . El campo fijo de un Sylow $p$ -subgrupo de $\text{Gal}(F/K)$ tiene un grado mayor que $1$ y coprima a $p$ en $K$ . Por lo tanto, es un campo estrictamente mayor que $K$ que no puede contener $\alpha$ , lo cual es una contradicción.
El último paso de la prueba consiste en demostrar que para cada $n$ hay precisamente una extensión de $K$ en $\overline{\mathbb Q}$ de grado $p^{n}$ que es cíclico. Por nuestra suposición de que $\overline{\mathbb Q}/K$ es infinito, se deduce que hay extensiones de $K$ de grado $p^{n}$ para cualquier $n$ . Elija una extensión $F/K$ de grado $p^{n}$ que podemos suponer de Galois $($ de lo contrario, sustitúyala por una extensión de Galois de grado aún mayor $)$ . $G=\text{Gal}(F/K)$ es un grupo de orden $p^{n}$ que según la teoría elemental de grupos tiene subgrupos de todos los órdenes posibles $($ es decir, todos los divisores de $p^{n}$$ ) $. Moreover, a subgroup of $ G $ of order $ p^{m} $, say, is part of a chain of subgroups of orders $ 1,p, \dots p^{m-1},p^{m}, \dots p^{n} $. The fixed field of a subgroup of $ G $ of order $ p^{n-1} $ has degree $ p $ over $ K $. Since there is only one such field, $ K( \alpha ),\ G $ has only one subgroup $ H $ of order $ p^{n-1} $. All subgroups of $ G $ of order $\le p^{n-2} $ are thus subgroups of $ H $ by the preceding discussion, so we can repeat the procedure with $ H $ instead of $ G $ and conclude that $ G $ has precisely one subgroup of order $ p^{m} $ for every $ m \le n $, which, in turn, implies that $ G $ is cyclic. The existence and uniqueness of cyclic extensions of $ K $ of degrees $ p^{n} $, $ n \ge 0$ se desprende de esto.
Observamos que nuestra demostración se generaliza inmediatamente a un número arbitrario de perfecto campos $F$ en lugar de $\mathbb{Q}$ En efecto, utilizamos la separabilidad en un momento dado. Si tomamos algún elemento $\alpha\in \overline{F}\setminus F^{\text{sep}}$ con $F$ no perfecta, entonces había algún campo $K$ que satisfagan las hipótesis del problema de forma que $F^{\text{sep}}\subseteq K$ Por lo tanto $\text{Gal}(\overline{F}/K)\subseteq \text{Gal}(\overline{F}/F^{\text{sep}})=0$ . Por supuesto, esto da una posibilidad más en el caso general.
kneidell
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Una cosa que veo aquí es que si $\alpha\in\bar{\mathbb{Q}}\setminus\mathbb{R}$ entonces $\mathbb{R}\cap\bar{\mathbb{Q}}$ no contiene $\alpha$ y por lo tanto $K\supseteq \mathbb{R}\cap\bar{\mathbb{Q}}$ . Por Artin-Schreier, y por la teoría básica de Galois, esto significa que $$\mathbf{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/K)\subseteq \mathbf{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/(\mathbb{R}\cap\bar{\mathbb{Q}}))=\mathbb Z/2\mathbb Z,$$ y como $K$ no es algebraicamente cerrado el LHS no es trivial y por lo tanto esto es una igualdad.
Todavía no se sabe por qué el $p$ -La parte de la caducidad se debe mantener si $\alpha\in\mathbb R$ (si lo hace, puede ser que haya más casos que examinar)
