Que $f$ sea una función medible de Lebesgue en $\Bbb{R}$ que satisface algunas propiedades, probar que $f\equiv 0$ casi en todas partes.

Question

Sea $f$ una función Lebesgue mensurable en $\Bbb{R}$ que satisface:

i) Existe un $p\in (1,\infty)$ tal que $f\in L^p(I)$ para cualquier intervalo acotado $I$.

ii) Existe un $\theta \in (0,1)$ tal que: $$\left|\int_I f\ dx\right|^p\leq \theta (\mu(I))^{p-1}\int_I |f|^p\ dx$$

Demuestra que $f\equiv 0 $ casi en todas partes.

Esta es una pregunta de examen anterior (3, cuidado: PDF).

Mis pensamientos.

Suponemos que existe algún $E$ donde, sin pérdida de generalidad, $f>0$ en $E$ y $\mu(E)>0$. Utilizando la regularidad de la medida de Lebesgue, para todo $\epsilon>0$ existe un abierto $G_{\epsilon}$ con $\mu(G_{\epsilon}\setminus E)<\epsilon$ y $E \subseteq G_{\epsilon}$. Podemos descomponer $G_{\epsilon}$ como una unión disjunta contable $I_k$. Por lo tanto, solo necesitamos mostrar que existe una contradicción si $f>0$ en algún intervalo.

Intenté argumentar de la siguiente manera:

$$\begin{align*}\left|\int_I f\ dx\right|^p&\leq \theta (\mu(I))^{p-1}\int_I |f|^p\ dx\\ &\leq\theta (\mu(I))^{p-1} \mu(I) \operatorname{essup}(|f|^p)\\&=\theta(\mu(I))^p\operatorname{essup}_I(|f|^p)\end{align*}$$

Siento que debería haber una contradicción en general aquí (por ejemplo, si $I=(0,1)$ y $f=1$, esta desigualdad no se cumple).

¿Alguien puede ayudarme? Me gustaría solo pistas, por favor.

Answer 1

Pista: Supongamos que $\theta = 1/2$ solo para rascar un poco. Para $h>0$ tenemos

$$|\int_a^{a+h} f\,\,|^p \le \frac{1}{2}\cdot h^{p-1}\int_a^{a+h} |f|^p \implies |\frac{1}{h} \int_a^{a+h} f|^p \le \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{h}\int_a^{a+h} |f|^p.$$

En la última desigualdad, deja que $h\to 0^+$ y aplica el teorema de diferenciación de Lebesgue.