Martingala problema

Question

Si $X_t$ $\mathbb{R}$ valores de proceso estocástico continuo con rutas de acceso, muestran que las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(i) para todos los $f\in C^2(\mathbb{R})$ el proceso de $$f(X_t) − f(X_0) −\int_0^t Af(X_s)ds$$ es una martingala,

(ii) para todos los $f\in C^{1,2}([0,\infty)\times\mathbb{R})$ el proceso de $$f(t,X_t)−f(0,X_0)−\int_{0}^t(\partial_t f(X_s)+A f(X_s))ds$$ es una martingala.

Answer 1

Estoy tratando de dar una respuesta parcial.

(ii) $\Rightarrow$ (i) es trivial.

(i) $\Rightarrow$ (ii). No puedo probarlo por completo, pero el siguiente argumento debe aplicar para el caso de $f(t,x)=g(t)h(x)$, donde las variables son separables.

Suponga que (yo). $M_t:=h(X_t) − h(X_0) −\int_0^t Ah(X_s)ds$ es una martingala continua, con $M_0=0$. Aplicar la fórmula de integración por partes para las integrales estocásticas, $$\int_0^t g(s)dM_s=g(t)M_t-\int_0^tM_sg'(s)ds.$$ El lado izquierdo es una martingala. Uno puede mostrar que el lado derecho es igual a $$g(t)h(X_t)-g(0)h(X_0)-\int_0^t [g'(s)h(X_s)+g(s)Ah(X_s)]ds,$$ porque $$\int_0^tg'(s)\int_0^s Ah(X_u)duds=g(t)\int_0^tAh(X_s)ds-\int_0^tg(s)Ah(X_s)ds.$$ Por lo tanto, el espacial, el caso está probado. Para obtener el resultado general, el uso de algún tipo de extensión argumento?