Norma del operador positivo.

Question

Estoy estudiando "Métodos de Física Matemática Moderna" de Reed y Simon, Vol. 1 ( http://www.math.bme.hu/~balint/oktatas/fun/notes/Reed_Simon_Vol1.pdf ). En la demostración del lema de la raíz cuadrada (p.196) utilizan la ecuación

$\|I-A\|=\sup\limits_{|\varphi|=1}|((I-A)\varphi,\varphi)|,$

donde $A$ es un operador positivo acotado en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ et $I$ es el operador de identidad en $\mathcal{H}$ . Entiendo que para cualquier operador acotado $T$ la igualdad de Cauchy-Schwarz implica que

$\|T\|\geq\sup\limits_{|\varphi|=1}|(T\varphi,\varphi)|$ .

Pero no soy capaz de demostrar la otra desigualdad. ¿Bajo qué hipótesis es verdadera?

Answer 1

Tenga en cuenta que $T := (I - A)$ es autoadjunto. Sea $M := \sup_{\def\norm#1{\left\|#1\right\|}\norm x = 1} \def\abs#1{\left|#1\right|}\def\<#1>{\left<#1\right>}\abs{\<Ax,x>}$ demostraremos que $\norm A \le M$ . Sea $x,y \in H$ entonces \begin{align*} \<T(x+y),x+y> - \<T(x-y),x-y> &= 2\<Tx,y> + 2\<Ty,x>\\ &= 2\<Tx,y> + 2\<x,Tx>\\ &= 4\Re\<Tx,y> \end{align*} Por lo tanto, debido a la identidad del paralelogramo, \begin{align*} 4\Re\<Tx,y> &\le M\norm{x+y}^2 + M\norm{x-y}^2\\ &= 2M\bigl(\norm x^2 +\norm y^2 \bigr) \end{align*} Por lo tanto, tenemos $$ \Re \<Tx, y> \le M, \qquad \norm x, \norm y \le 1 $$ Ahora, teniendo en cuenta $y$ elija $\lambda \in \mathbf C$ con $\abs \lambda = 1$ tal que $\Re \<Tx,\lambda y> = \abs{\<Tx, y>}$ entonces $\abs{\<Tx,y>} \le M$ Por lo tanto $$ \norm A = \sup_{\norm x, \norm y \le 1}\abs{\<Tx,y>} \le M. $$

Answer 2

Denota el rango numérico: $$\mathcal{W}(A):=\{\langle A\hat\varphi,\hat\varphi\rangle:\|\hat\varphi\|=1\}$$

Por Cauchy-Schwarz: $$\|\mathcal{W}(A)\|\leq\|A\|1\cdot1=\|A\|$$

Para operadores acotados: $$A\in\mathcal{B}(\mathcal{H}):\quad\sigma(A)\subseteq\overline{\mathcal{W}(A)}$$

Para los operadores normales:* $$N^*N=NN^*:\quad\|N\|=\|\sigma(N)\|$$

Todo junto da: $$\|N\|=\|\sigma(N)\|\leq\|\mathcal{W}(N)\|\leq\|N\|$$ Igualdad concluyente.

*Pista: Serie Neumann