$\DeclareMathOperator{\Ord}{Ord}$Si no $q^b = (p^a - 1)/(p - 1)$ $p, q$ impares, números primos y $a, b$ enteros impares $> 1$ ? Si no hay ejemplos son posibles, por favor, dar una prueba simple.
Una prueba de esto para $q=3, p=5$ podría ser
Suponga $3^b = (5^a - 1)/4$; a continuación, \begin{equation} 5^a - 4 \cdot 3^b = 1. \tag{1} \end{equation} Nos muestran que los exponentes $a,b$ en (1) es par.
Vemos que $3^b \mid 5^a - 1$ $\Rightarrow$ $5^a \equiv 1 \bmod 3$. También se $5 \mid 4\cdot3^b+1$ o $4 \cdot 3^b \equiv -1 \bmod 5$, de modo que $3^b \equiv 1 \bmod 5$.
En resumen: \[ 3^b\equiv1 \bmod 5, \quad 5^a\equiv1 \bmod 3. \]
Por un conocido teorema: si $X^c \equiv 1 \bmod p$,$\Ord(c,p) \mid c$. Por inspección, $\Ord(3,5) = 4$, de modo que $4 \mid b$. Del mismo modo, $\Ord(5,3) = 2$, de modo que $2 \mid a$.
Esto viola la suposición que el $a,b$ son impares. La prueba completa.
No obstante, el paso más:
Como $a,b$ son tanto que incluso podemos escribir (1) como $1 = 5^{2A} - 4\cdot 3^{2B} = (5 - 2\cdot3^B)(5 + 2\cdot3^B)$. Por lo tanto, $5 + 2\cdot3^B = 1$, pero no hay ningún valor positivo de la $B$ la satisfacción de este. Por lo tanto, (1) no es cierto.
Nota: quiero aclarar que la anterior prueba, si es correcto, no es mío pero me fue dado por alguien que no soy libre de nombre. Si es incorrecto, la culpa es enteramente mía.
