¿Cómo se reordenan las ecuaciones con productos de puntos?

Question

¿Cómo puedo hacer para reordenar una ecuación similar a esta...

$$\left(\pmatrix{-3\\0\\1}+ t \pmatrix{1\\4\\7} \right) \cdot n - a = 0$$

El problema que tengo es la manipulación de productos de puntos

Answer 1

El producto punto es distributivo sobre la suma de vectores. Esto es fácil de ver porque el producto punto es esencialmente una suma de multiplicaciones a nivel de componentes, y la suma de vectores funciona a nivel de componentes.

Eso es, $$a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c.$$

Answer 2

Es útil saber que el producto punto es un producto interno, lo que significa que es lineal, simétrico y definido positivo. Así que las reglas a recordar son:

$$a(u\cdot v)=au\cdot v=u\cdot av\\ u\cdot(v+w)=(u\cdot v)+(u\cdot w)\\u\cdot v=v\cdot u\\u\cdot u> 0\:\:\mbox{if and only if }u\neq 0$$