Si $I\leq K[X_0,\dots,X_n]$ ($K$ un campo, digamos algebraicamente cerrado) es un ideal cuyo radical es homogénea, es siempre el caso de que $I$ es homogénea?
Estoy tratando de comprender variedades proyectivas, que han sido definidas de la siguiente manera:
Para $V$ $n+1$ dimensiones de espacio vectorial, $\pi:V\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{P}V$ el mapa enviar a un punto de la línea a través de ese punto, un subconjunto $Z$ $\mathbb{P}V$ se dice ser de Zariski cerrado si $\widetilde{Z}:=\pi^{-1}(Z)$ es Zariski cerrado en $V$ (es decir, utilizamos el cociente de la topología de $\mathbb{P}V$).
Ahora sé que si algún subconjunto $\widetilde{Z}$ $V$ $K^\times$ invariante, a continuación,$\pi^{-1}(\pi(\widetilde{Z}))=\widetilde{Z}$, por lo que si $\widetilde{Z}=Z(I)$ $I$ homogéneo ideal, a continuación, $\widetilde{Z}$ $K^\times$ invariante y por lo $\pi(\widetilde{Z}\setminus\{0\})$ es una variedad proyectiva.
Yo también (creo yo) saber que si $Z$ es una variedad proyectiva y $K$ es infinito, $I(\widetilde{Z})$ es homogénea. En otras palabras, si $\widetilde{Z}=Z(I)$ $\sqrt{I}$ es homogénea.
Poniendo a estos en conjunto, las variedades en $\mathbb{P}V$ corresponden exactamente a afín variedades en $V$ el cual puede ser escrito como la puesta a cero de un ideal homogéneo (cuando trabajamos en un campo que permite el uso de Nullstellensatz). Sin embargo, si definimos una variedad afín en términos de un no-homogéneo variedad y no se sabe que es radical, no sabemos de esto si es o no corresponde a una variedad proyectiva, a menos que la respuesta a la pregunta en el post es que sí, es por eso que estoy pidiendo.
