Cómo puedo probar que $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]x=1$

Question

Cómo puedo probar que $$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]x=1$$ para todos los $x>0$

Sé que tengo que usar la monotonía teorema de convergencia de alguna manera. Es fácil demostrar que los $\sqrt[n]x$ es acotado, pero teniendo problemas para mostrar que es estrictamente creciente para $0<a<1$ y estrictamente decreciente para $a>1$. También cómo se puede demostrar la infimum y supremum es 1 para los dos casos?

Answer 1

Tenga en cuenta que para $a\gt 0$, $$a^b = e^{b\ln a}.$$ Así $$\lim_{n\to\infty}x^{1/n} = \lim_{n\to\infty}e^{\frac{1}{n}\ln x}.$$ Ya que la exponencial es continua, se tiene $$\lim_{n\to\infty}e^{\frac{1}{n}\ln x} = e^{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln x}.$$

Se puede concluir ahora?

O el Uso de un martillo,

Utilizamos el siguiente teorema:

Si $a_n \gt 0$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$, $\lim_{n\to\infty} a_n^{1/n} = L$

Answer 2

Primero asuma $x\ge 1$. Escribir $x_n = \sqrt[n]{x} - 1$. Observe que $x_n\ge0$, debido a $\sqrt[n]x\ge1$ si $x\ge1$. Usando la desigualdad de Bernoulli tenemos $$ x = (1+x_n)^n \ge 1 + n\cdot x_n $$ para todos los $n$. Este rendimientos $0\le x_n\le \frac{x-1}n$ todos los $n$. Esta muestra $\lim_{n\to\infty} x_n = 0$ o $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]x = 1$.

Si $0<x<1$, luego tenemos a $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/x} = 1$ por lo anterior, y por lo tanto $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x} = \frac1{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/x}} = \frac11 = 1. $$

Answer 3

Utilizar el teorema del binomio:

Caso I. $x\geqslant1.$ Por cada $n,$ deje $x_n:=\sqrt[n]{x}-1.$, Luego tenemos a $x=(1+x_n)^n\geqslant nx_n$ y, por tanto,$0\leqslant x_n\leqslant\dfrac{x}{n}$$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt[n]{x}-1)=0$, lo que significa que $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x}=1.$

Caso II. $0<x<1.$ Deje $a:=\dfrac{1-x}{x}.$ $1+a>1$ y se puede aplicar el caso de I.