Recursos sobre distribuciones funcionales

Question

¿Existe algún artículo/libro de texto que trate las distribuciones de probabilidad en funciones igual que los libros de texto básicos tratan las distribuciones clásicas para variables escalares?

Supongamos que la función aleatoria $f$ tiene una distribución de proceso gaussiano con alguna función media $m$ y la función de covarianza $w$ . Sé cómo generar desviaciones aleatorias (funcionales) de esa distribución.

Lo que me gustaría saber, por ejemplo, es dada otra función $g$ (que puede evaluarse en un número arbitrario de puntos del mismo intervalo que donde $f$ ), ¿cuál es la probabilidad de que $g$ o se extrajo una función más extrema de $f$ de la distribución. ¡Debe haber una manera de definir una función de distribución acumulativa y una función de densidad de probabilidad para las funciones!

Answer 1

Dado que sólo se puede observar la función $g$ en un número finito de puntos $x_1,...,x_n$ entonces su problema es idéntico a probar si el vector observado proviene de una distribución multivariante particular con una media y una matriz de covarianza dadas. Por tanto, si $g(x)=(g(x_1),...,g(x_n))$ procede de una distribución multivariante con media $\mu$ y la matriz de covarianza $\Sigma$ obtenemos

$$(g(x)-\mu)'\Sigma^{-1}(g(x)-\mu)\sim\chi^2_n.$$

Naturalmente, debería disponerse de pruebas mejores.

En cuanto a las funciones aleatorias, el teorema de Kolmogorov establece que el proceso se describe completamente mediante sus distribuciones finito-dimensionales. La función de distribución acumulativa y las funciones de densidad de probabilidad se definen para distribuciones finito-dimensionales, así que ahí lo tienes.