La de Riemann-Roch teorema de los estados $l(D)-l(K-D)=1 + deg(D) - g$ donde $D$ es un divisor en una superficie de Riemann compacta $X$ $K$ es el divisor de meromorphic 1-forma. En el caso de $g=2$ $D=K$ esto es $l(K)=2$. De modo que el espacio de holomorphic 1-formas tiene dimensión 2. Llame a $\omega_1, \omega_2$ una base para este espacio. No entiendo por qué la $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ debe ser un ramifica a cubrir el espacio $X \longrightarrow \mathbb{P}^1$ (esto es lo que escribí en mis notas), y por qué cada superficie de género 2 es el doble de cubrir el espacio de $\mathbb{P}^1$ ramificado en 6 puntos. Gracias por la ayuda.
Respuesta
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El cociente $\frac {s}{t}$ de cualquier dos secciones $ t\neq0,s\in \Gamma(X,L)$ de cualquier holomorphic línea de paquete en la $X$ es una función de meromorphic $f$, no constante si $s,t$ son linealmente independientes en $\Gamma(X,L)$.
Si este es el caso de la $f$ puede ser visto como un no constante holomorphic mapa de $X\to \mathbb P^1$.
Tal holomorphic mapas son ramificados, revestimientos de grado el grado $d=deg(L)=c_1(L)$$L$, en el sentido de que son auténticos cubriendo espacios de grado $d$ sobre el complemento de un número finito de puntos en $\mathbb P^1$.
(Estos puntos son las imágenes de los puntos de ramificación de $f$, y son llamados los valores críticos de $f$)
Todo esto se aplica a su caso, donde $L=K_X,s=\omega_1, t=\omega_2, d=2$, y la ramificación número dado (como Matt comentado ) por la fórmula de Hurwitz
$$2g(X)-2=deg(f)\cdot (2g(\mathbb P^1)-2) +r $$
rendimiento $r=6$ aquí.
