¿Cómo puede $\cos\frac\theta2 = \pm\sqrt{\frac{(1 + \cos \theta)}{2}}$ ?

Question

Antecedentes: Estoy estudiando raíces de variables complejas (¡no son deberes!), y estoy repasando un problema de Schaum's Outlines on Complex Variables.

En un problema trabajado, se presenta la siguiente ecuación y se supone que el lector conoce bien la trigonometría: $$\cos\frac\theta2 = \pm\sqrt{\frac{(1 + \cos \theta)}{2}}$$

¿Puede alguien mostrarme (o simplemente insinuarme) por qué esta ecuación es cierta, por favor?

Answer 1

En el contexto de los números complejos, utilice la identidad de Euler $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ escribir $$\left(\cos\frac{\theta}{2}\right)^2 = \left(\frac{e^{i\theta/2} + e^{-i\theta/2}}{2}\right)^2 = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta} + 2}{4} = \frac{1 + \cos \theta }{2} \Rightarrow \cos\frac\theta2 = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

Answer 2

Sabes que $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha-1$ ¿verdad? Ahora pon $\alpha = \theta/2$ .

Answer 3

A pesar de todas las pruebas ya mencionadas, hacer un dibujo

fue el método, lo que me convenció a la primera:

$\color{blue}{\cos(\theta)^2}$ es un exprimido (por $2$ a lo largo de $x$ y $y$ eje) y desplazado (por $+\frac{1}{2}$ a lo largo del $y$ eje) de $\color{green}{\cos(\theta)}$ .

Answer 4

\begin{equation*} \begin{split} \cos 2\alpha &= \cos^{2} \alpha-\sin^{2}\alpha\\ \Rightarrow \cos\alpha &= \cos^{2}\frac{\alpha}{2}-\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\\ &= 2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1 (\because \sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1-\cos^{2}\frac{\alpha}{2})\\ \therefore \cos^{2}\frac{\alpha}{2} &= \frac{1+\cos \alpha}{2}\\ \Rightarrow \cos\frac{\alpha}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}. \end{split} \end{equation*}