La evaluación de la infinita producto $\prod_{k=2}^{\infty }\left ( 1-\frac{1}{k^2} \right ).$

Question

Evaluar

$$\lim_{ n\rightarrow\infty }\prod_{k=2}^{n}\left ( 1-\frac{1}{k^2} \right ).$$

Yo no puedo ver nada en este límite , así que me ayude por favor.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$1-\frac1{k^2}=\left(1-\frac1k\right)\left(1+\frac1k\right)=\frac{k-1}{k}\frac{k+1}{k}=\frac{a_k}{a_{k-1}}$$ with $a_k= \frac{k+1}k$, por lo tanto, esta es una telescópica producto, es decir, $$ \prod_{k=2}^n\left(1-\frac1{k^2}\right)=\frac{a_2}{a_1}\frac{a_3}{a_2}\cdots\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_n}{a_1}=\frac{n+1}{2n}.$$

Answer 2

Deje $g(k)=\frac{k-1}{k}$. Entonces este producto es:

$$\prod_{k=2}^n \frac{g(k)}{g(k+1)}$$

que es una telescópica producto, y por lo tanto igual a $\frac{g(2)}{g(n+1)}$

Answer 3

$$ 1-\frac{1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$$ $$ \prod_{k=2}^{n}\left ( 1-\frac{1}{k^2} \right ) = \underbrace{\frac{2-1}{2}}_{\text{from first}} \times \underbrace{\frac{(n+1)}{n}}_{\text{from last}}$$

Answer 4

$$\left(1-\frac1{(k-1)^2}\right)\left(1-\frac1{(k)^2}\right)\left(1-\frac1{(k+1)^2}\right)$$

$$=\frac{k(k-2)(k-1)(k+1)k(k+2)}{(k-1)^2k^2(k+1)^2}=\frac{(k-2)(k+2)}{(k-1)(k+1)}$$

Observar que $\left(1-\frac1{(k)^2}\right)$ se cancela a cabo por el anterior y el siguiente término, excepto para los términos extremos, el 1º y el último término de salir de detrás de la 1ª parte del 1er trimestre $=\frac{2-1}{2}$ y la 2ª parte de la pasada legislatura $=\frac{n+1}n$

Answer 5

Sugerencia: La "típica" término es $\dfrac{k-1}{k}\dfrac{k+1}{k}$. Expresar los primeros términos de esta manera, y observar el bonito cancelaciones.

Por ejemplo, aquí es el producto de los siete primeros términos: $$\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{2}{3}\frac{4}{3}\frac{3}{4}\frac{5}{4}\frac{4}{5}\frac{6}{5}\frac{5}{6}\frac{7}{6}\frac{6}{7}\frac{8}{7}\frac{7}{8}\frac{9}{8}=\frac{9}{2\cdot 8}.$$