$\{ a + b\sqrt{2} \ : \ a, b \in \mathbb{Z} \}$ denso en $\mathbb{R}$ ?

Question

Supongo que $\{ a + b\sqrt{2} \ : \ a, b \in \mathbb{Z} \}$ es denso en $\mathbb{R}$ . Tengo un bloqueo mental. ¿Cómo se muestra eso?

(Esto está motivado por una hipótesis diferente: si $f$ es continua con dos periodos $T_1$ , $T_2$ entonces $f$ es constante si $T_1/T_2$ no es racional).

Answer 1

Intenta una especie de algoritmo de Euclides para encontrar $\gcd(1,\sqrt 2)$ :

$$\sqrt 2=1+r_1$$ $$1=q_1r_1+r_2$$ $$\ldots$$

Obviamente, nunca se termina, precisamente por la irracionalidad de $\sqrt 2$ . Debería encontrar que para cualquier $\epsilon>0$ existe $a,b$ tal que $|a+b\sqrt 2|<\epsilon$ .

Answer 2

Un subgrupo aditivo $A$ de $\mathbb R$ es cíclico o denso. Esto depende de si $\inf A \cap \mathbb R^+ = 0$ .

Su grupo contiene $\alpha=-1+\sqrt 2$ y todos sus poderes. Desde $0 <\alpha <1$ el grupo no puede ser cíclico, porque $\alpha^n \to 0$ .

Answer 3

Puede haber una forma más sencilla de hacerlo, pero creo que se deduce de Para un número irracional $a$ la parte fraccionaria de $na$ para $n\in\mathbb N$ es denso en $[0,1]$ . El principal argumento utilizado es el principio de encasillamiento: Dividir $[0,1]$ en $k$ subintervalos; hay más de $k$ múltiplos de $a$ por lo que dos deben estar en el mismo subintervalo; por tanto, hay dos múltiplos de $a$ que difieren en menos de $\frac1k$ .

Obsérvese que algunos de los detalles más delicados de las respuestas tienen que ver con el hecho de que el conjunto de índices es $\Bbb N$ en lugar de $\Bbb Z$ ; ya que usted quiere $\Bbb Z$ los argumentos se pueden simplificar.

Answer 4

Escribir $G = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}$ ¿Puede demostrar que $(G,+)$ es un subgrupo de $(\mathbb{R},+)$ ? Entonces, ¿qué sabes de los subgrupos aditivos de $\mathbb{R}$ ? $(\dagger)$

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$(\dagger)$ Todos ellos son de la forma $c\mathbb{Z}$ o denso.