¿Cuál es el convex-hull de la set $\{ (n,\varphi(n)) : n\in \mathbb N \} \subset \mathbb R^2$

Question

Sé que establece $$ E=\{ (n,\varphi(n)) : n\in \mathbb N \} \subconjunto \mathbb R^2 $$ tiene infinidad de puntos en la línea $y=x-1$, lo que sugiere que esta línea para ser incluido en la parte superior del convex-hull. Sin embargo, yo no realmente ver lo que está pasando en la parte inferior. Que es lo que es el convex-hull de $E$?

Gracias.

Answer 1

Deje $0 < c < 1$. A continuación, hay una infinidad de $n$ tal que $\varphi(n) < cn$, y por lo tanto la línea de $y = c(x-1) + 1$ $(x \geq 1$) se incluye en el casco convexo.

El convex hull es, por tanto, la forma de triángulo área determinada por las líneas $y = x$, ($x \geq 1$) y $y = 1$.

EDIT: Prueba de la afirmación anterior. Si $P_k = p_1 p_2 \ldots p_k$ es el producto de la primera $k$ de los números primos, a continuación, $\varphi(P_k) / P_k = \prod_{i = 1}^k (1 - \frac{1}{p_i})$ converge a cero, como se $k \rightarrow \infty$. Véase, por ejemplo aquí.

Answer 2

Hechos relevantes:

Para una infinidad de $n$, tenemos $$ \varphi(n) < \frac{n}{e^\gamma \log \log n} \etiqueta{1} $$ Vea aquí. Pero la constante $e^\gamma$ realmente no importa. De hecho, la simple condición dada en el giro de la respuesta basta; es decir, que para cualquier $0 < c < 1$, hay una infinidad de $n$ tal que $$ \varphi(n) < cn \etiqueta{2} $$

Reclamo: El convex hull $\text{conv } E$ está dado por $$ \{(1,1)\} \cup \left\{ (x,y) \; : \; 1 < y < x. \right\}. $$

Prueba. Arreglar cualquier real $x > 1$. Para cualquier $n$, $\text{conv } E$ contiene el segmento de línea entre el$(1,1)$$(n, \varphi(n))$. En particular, contiene el punto de $\left(x, \frac{\varphi(n) - 1}{n-1} (x-1) + 1\right)$.

Para cualquier $0 < c < 1$, encontramos una $n$ satisfactorio (2). A continuación, $\text{conv } E$ contiene el punto de $(x,y)$ con $$ y = \frac{\varphi(n) - 1}{n-1} (x-1) + 1 < \frac{cn - 1}{n-1} (x-1) + 1 < \frac{cn}{n / 2} (x-1) + 1 = \frac{c}{2} (x - 1) + 1 $$ Como $c \to 0$, esto nos da puntos arbitrariamente cercanos a $(x, 1)$$\text{conv } E$. Por otro lado, si tomamos $n$ a ser un gran primer, $$ y = \frac{\varphi(n) - 1}{n-1} (x-1) + 1 = \frac{n - 2}{n-1} (x-1) + 1 = \left(1 - \frac{1}{n-1} \right) (x-1) + 1 $$ Desde que existen infinitos números primos, esto nos da puntos arbitrariamente cercanos a $(x, x)$$\text{conv } E$.

Para cualquiera de los dos puntos $(x, y_1)$$(x,y_2)$, el segmento entre ellos está contenida en $\text{conv } E$. Por lo tanto, $\{x\} \times (1, x) \subset \text{conv } E$.

$x$ fue arbitraria, por lo que tenemos $\{ (x,y) \; : \: 1 < y < x \} \subset \text{conv } E$. Añadir el punto de $(1,1)$, llegamos a un conjunto convexo que contiene a $(n, \phi(n))$ todos los $n$, por lo que esto debe ser todo el convex hull.

Answer 3

Aquí está una más precisa obligado en caso de que le sea útil, aunque la pregunta ya está contestada.

Se ha demostrado por Nicolás, que para un número infinito de números enteros positivos $n$ hemos $\displaystyle \frac{n}{\varphi(n)}>e^{\gamma}\log \log n$ donde $\gamma$ es la constante de Euler. Usted puede encontrar los detalles en J.-L. Nicolás. Petites valeurs de la función d'Euler. J. Teoría De Los Números 17 (1983), 375-388.