restricción de $SL(2,R)$ de representación a $SO(2)$

Question

Deje $d \geq 1$ y deje $V$ $2d+1$ irreductible representación de $SL(2,\mathbb{R})$. Sabemos que las representaciones irreducibles de $SO(2)$ $2$ espacios dimensionales $V_k$ con el mapa de $$\rho_k : \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \cos k\theta & -\sin k\theta \\ \sin k\theta & \cos k\theta \end{pmatrix}$$

Cuando restringimos $V$$SO(2)$, podemos escribir $V = V_0 + V_{k_1} + \cdots + V_{k_d}$. ¿Cómo podemos averiguar lo $k_1,\ldots,k_d$ son?

Tengo razones para creer que $k_i = i$ por cada $i$. Yo soy básicamente tratando de averiguar por qué este es el caso.

Answer 1

Supongo que hablar de real representaciones.

Darse cuenta de $V$ como polinomios homogéneos de dergee $2d$ $x,y$ y dejar $z=x+iy$, $\bar{z}=x-iy$. Homogénea polinomios generados por partes real e imaginaria de $z^k \bar{z}^{2d-k}$, $k=0,\ldots,d$. La acción de la $\varphi$la rotación de $$ z^k \bar{z}^{2d-k}\mapsto (e^{i\varphi k} z^k) (e^{-i\varphi (2d-k)} \bar{z}^{2d-k})=e^{i\varphi (2k-2d)} z^k \bar{z}^{2d-k}. $$ Esta dice que el $z^k \bar{z}^{2d-k}$ es asignado a un (complejo) múltiplo de sí mismo. Del mismo modo, el conjugado $\bar{z}^k z^{2d-k}$ es invariante y de ello se sigue que las partes real e imaginaria de $z^k \bar{z}^{n-k}$ generar un $2$-dimensional $SO(2)$-submódulo. El caso de $k=d$ es especial, como $z^{d} \bar{z}^{d}=(x^2+y^2)^{d}$ es puramente real y claramente fijado por $SO(2)$: esto corresponde a su $V_0$ copia.

La ecuación $$R(\varphi) z^k \bar{z}^{2d-k}=e^{i\varphi (2k-2d)} z^k \bar{z}^{2d-k} $$ muestra que en la base $(Re(z^k \bar{z}^{2d-k}), Im(z^k \bar{z}^{2d-k}))$ la rotación de las acciones puede ser identificado con su $\rho_{2k-2d}$. El resto de los números de $2k-2d$ $k=0,\ldots, d-1$ igual $\{-2d,2-2d,\ldots, -2\}$ y estos son sus constantes $k_1,\ldots, k_d$. También podrían ser $2,4,\ldots,2d$: los números de $k_i$ están bien definidas sólo hasta el signo. El signo de $k_i$ depende de la elección de la orientación de la $2$-dimensiones de los subespacios.

Para una explícita ejemplo, considere el $d=1$ $V=\langle x^2, xy, y^2\rangle$ con la evidente acción. A continuación,$V_0=\langle x^2+y^2 \rangle$$V_{\pm 2}=\langle Re(z^2), Im(z^2)\rangle = \langle x^2-y^2, 2xy \rangle$. La elección de la base $(x^2-y^2, 2xy)$, la rotación actúa como su $\rho_2$.

Observación 1: Si usted no tiene una orientación, no sabemos si $\rho_k(\varphi)(p)$ se mueve en sentido horario o en sentido antihorario para $\varphi\in [0,2\pi]$, $p$ un punto en el plano. Tenga en cuenta que si usted elige alguna base de su $2$-dimensiones invariante en el espacio, el $SO(2)$-acción no tiene que ser representados por matrices ortogonales. Pero $|k_j|$ está bien definido.