Dado los 2 lados y un ángulo entre los dos lados, ¿cuál es la más simple, la prueba de que usted puede venir para arriba para encontrar la medida de la 3ª lado?
Respuestas
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Anthony Shaw
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858
$\hspace{5cm}$ Usando las Propiedades del Producto escalar
$\hspace{4.5cm}$
$$
\begin{align}
|a-b|^2
&=(a-b)\cdot(a-b)\\
&=a\cdot a+b\cdot b-2\,a\cdot b\\
&=|a|^2+|b|^2-2|a||b|\cos(\theta)
\end{align}
$$
La justificación de $\mathbf{a\cdot b=|a||b|cos(\theta)}$:
Utilizando la fórmula para el coseno de la diferencia, tenemos $$ \begin{align} a\cdot b &=|a|\left(\cos(\alpha),\sin(\alpha)\right) \cdot |b|\left(\cos(\beta),\sin(\beta)\right)\\ &=|a||b|\left(\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)\right)\\ &=|a||b|\cos(\alpha-\beta)\\ \end{align} $$
$\hspace{5cm}$ Usando el Teorema de Pitágoras
$\hspace{2cm}$
$$ \begin{align} c^2 &=(b\cos(\theta)-a)^2+(b\sin(\theta))^2\\ &=a^2+b^2(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta))-2ab\cos(\theta)\\ &=a^2+b^2-2ab\cos(\theta) \end{align} $$
dtldarek
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23441
Aquí está mi opinión. Considere la posibilidad de la fórmula y la siguiente imagen:
$$ {\color{darkgreen}{c^2}} = {\color{red}{a^2} + \color{darkorange}{b^2}} - {\color{darkgreen}{2ab\cos\theta}} $$
$\hspace{90pt}$
El amarillo vectores son, precisamente, $a$ $b$ donde $a > b$. El único complicado es que el área de dos pequeños cuadrados rojos resume a la plaza de los naranjos (de modo que el gran cuadrado rojo $\color{red}{a^2}$ no se solape con el más pequeño de orange $\color{darkorange}{b^2}$), pero esto es debido a que el triángulo azul y el teorema de Pitágoras. Por supuesto, no debe olvidarse que para aplicar el teorema de Pitágoras también a (verde grande de cuadrados) = (cuadrado naranja) + (en el medio de la plaza roja), después de que este es sólo un reordenamiento de los demás.
Saludos!
Neal
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16536
Deje que nuestro triángulo (con longitudes de lado $a$, $b$, $c$, y el ángulo de $\gamma$ opuesto $c$) se incrustan en $\mathbb{C}$, de modo que el lado con la longitud de la $a$ se encuentra en el eje real y el vértice del ángulo $\gamma$ se encuentra en el origen. Deje $b$ ser el número complejo correspondiente al lado con la longitud de la $b$. Observe que el lado con la longitud de la $c$ puede ser representado como $b - a$. Entonces tenemos $$\|c\|^2 = (b-a)^2 = (b_x - a)^2 + (b_y)^2 = a^2 + (b_x^2 + b_y^2) - 2ab_x.$$ Pero por la fórmula de Euler, $b=\cos\gamma + i\sin\gamma$, lo $b_x = \cos\gamma$, por lo que tenemos
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma.$$
André Caldas
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2775
Como otros han señalado, si saben que el "producto escalar", y TAMBIÉN, algunas de las propiedades de ella, entonces se puede mostrar la relación que determina el tamaño del tercer lado. Lo que queda demostrado, son estas propiedades del producto escalar.
Supongo que sabes que para $a = \sum_i a_i e_i$ $b = \sum_i b_i e_i$, $a \cdot b = \sum_i a_i b_i$. Pero también saben que $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$. Entonces, (como otros han escrito) $$ \begin{align} |a-b|^2 &= (a - b) \cdot (a - b) \\ &= a \cdot a + b \cdot b - 2\, a \cdot b \\ &= |a|^2 + |b|^2 - 2 |a| |b| \cos \theta. \end{align} $$ Pero, ¿cómo sabemos que $|a| |b| \cos \theta = \sum_i a_i b_i$ en primer lugar?
Quiero pensar acerca de un problema relacionado. Tenemos dos vectores $a$$b$, y quiere saber el "tamaño" de la proyección de la $a$ $b$'s dirección $P_b(a)$. Si en lugar de "tamaño", pensamos en una sesión "tamaño", es decir, si la proyección de la misma dirección como $b$, entonces es positivo. De lo contrario, es negativo. En otras palabras, $$ P_b(a) = |a| \cos \theta. $$ Esto es demasiado flojo. No hemos de definir lo que entendemos por "proyección en una dirección determinada". No nos definen $\theta$, y no nos definen $\cos \theta$!!
Vamos a empezar de nuevo... Para cada vector de $b$, tenemos un mapa de $P_b: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ("firmado" tamaño de la proyección en $b$'s dirección), tal que:
- $P_b$ es lineal. Convencerse a sí mismo con un dibujo... ;-)
- $P_{\alpha b} = \mathrm{sig}(\alpha) P_b$ donde $\mathrm{sig}(\alpha)$ es la señal de $\alpha$.
- Si $a$ $b$ son unitarias, a continuación,$P_b(a) = P_a(b)$.
- $P_{e_i}(e_j) = \delta_{ij}$ donde $\delta_{ij}$ es el [delta de Kronecker].
- $P_a(a) = |a|$.
A continuación, queremos mostrar que $$ P_b(a) = \frac{1}{|b|} \sum_i a_i b_i. $$ La aplicación de las propiedades de "1", "2", "3", "1" y "4", $$ \begin{align} P_b(a) &= \sum_i a_i P_b(e_i) \\ &= \sum_i a_i P_{\frac{b}{|b|}}(e_i) \\ &= \sum_i a_i P_{e_i}\left(\frac{b}{|b|}\right) \\ &= \frac{1}{|b|} \sum_{i,j} a_i b_j P_{e_j}(e_i) \\ &= \frac{1}{|b|} \sum_i a_i b_i. \end{align} $$
El hecho de que $P(a, b) = P_b(a)$ es no lineal en $b$ hecho las cosas un poco más difícil de calcular. Por esa razón, en lugar de $P_b(a)$, podemos utilizar el "producto escalar": $a \cdot b = |b| P_b(a)$.
