la identidad del operador no es limitada

Question

Supongamos que consideramos que la identidad del operador entre los espacios

$(C([0,1]),\| . \|_{\infty}) \rightarrow (C([0,1]),\| . \|_{1})$. A continuación, la identidad del operador es acotado, pero la inversa no es limitada.

Estoy un poco confundido acerca de esto. Así que supongo que llamamos la identidad del operador como $T : (C([0,1]),\| . \|_{\infty}) \rightarrow (C([0,1]),\| . \|_{1})$. Si calculamos la norma en para este operador nos encontramos con que

$$\|T\| = \sup_{||f||_{\infty} = 1} \int_{t = 0}^{t = 1} |f(t)| dt$$

No estoy seguro de cómo podemos argumentar que esto es acotada.

También, tengo problemas en el reverso así. Que $T^{-1}$ no es limitada. Alguien puede explicar esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \|T\|=\sup_{\|f\|_\infty\le 1}\|Tf\|_1=\sup_{\|f\|_\infty\le 1}\int_0^1|f(t)|\,dt\le\sup_{\|f\|_\infty\le1}\int_0^1\|f\|_\infty\,dt=1, $$ por lo $T$ está acotada. A ver que $T^{-1}$ es no acotada, es suficiente para encontrar una secuencia de funciones de $(f_n)$ $C[0,1]$ cuyas $L_1$ normas son menos de $1$ pero cuya supremum normas crecer sin límite. Para ello, tome $f_n$ a ser el modelo lineal por tramos de la función en $[0,1]$ cuya gráfica se conecta a los puntos de $(0,n)$$(1/2n,0)$%#%. Entonces $$ \|f\|_1 = \frac{(n)(1/2n)}{2}=1 $$ pero $(1,0)$. En consecuencia $$ \|T^{-1}\|=\sup_{\|f\|_1\le 1}\|Tf\|_\infty\ge\sup_{n\in\mathbb{N}}\|f_n\|_\infty=\infty, $$ por lo $\|f\|_\infty=n$ es no acotada.

Answer 2

En arbitraria normativa de los espacios, de un mapeo lineal no es automáticamente continua, como sucede cuando hay un número finito de base. Tan largo como espacios vectoriales tienen una estructura homogénea, su topología puede ser determinado por un sistema de vecindarios cercanos a 0. Lo mismo es cierto para los morfismos entre la normativa de los espacios. Es suficiente para evaluar la continuidad en 0. Ahora digo, $X, Y$ normativa espacios y $f : X \longmapsto Y$ es lineal en el mapa. $f$ es continua en 0 si y sólo si se le da $\epsilon > 0$ podemos encontrar $\delta > 0$ de manera tal que la siguiente implicación tiene $$ \|x\| < \delta \Longrightarrow \| f(x) \| < \epsilon $$ Debido a la linealidad, esto es completamente equivalente $$ \|x\| < 1 \Longrightarrow \| f(x) \| < \epsilon/\delta $$ lo que es completamente equivalente a decir $$ \| f(x) \| < \epsilon/\delta \| x\| \; , \quad x \in X$$ Por lo tanto la comprobación de la continuidad se reduce a la búsqueda de un constante $M \geq 0$ tal que $ \| f(x) \| \leq M \| x\|$ (*) se mantiene. El término viene delimitada por el supremum $$ \sup \left\{ \| f(x)\| ; \|x \| \leq 1 \right\}$$ un ser finito. Esto es equivalente a decir que el $f$ es continua en 0, y continua en todas partes.

Supongamos ahora que $f$ es de 1-1 y surjective. No es una función $g : Y \longrightarrow X$ tal que $f \circ g = I$$g \circ f = I$. Pero siempre estamos trabajando en los espacios de tener tanto una lineal y una estructura topológica, tenemos que demostrar que el $g$ es también un topológico de morfismos (que es, continua) para decir que $g$ es, de hecho, la inversa de a $f$.

Supongamos también que $X = Y$. De nuevo en contraste con el finito dimensionales caso de que tuvimos la agradable teorema de la dimensión, la suposición de que $f$ es de 1-1 o surjective no nos conducen a encontrar una relación inversa incluso en teoría. Hay numerosos ejemplos de lineal asignaciones de ser surjective pero no inyectiva y viceversa. Peor aún, el mismo espacio lineal como puede ser dotado con muchas diferentes topologías de hacer que incluso la identidad de ser no-continuo.

El método estándar para probar la continuidad de una normativa espacio de contexto es demostrar ($*$). El método estándar para probar la no-continuidad es demostrar que (a$*$) no mantener, de manera equivalente, para encontrar algún delimitada secuencia $\left(x_n\right)_{n\in\mathbb N}$ tal que $\|f(x_n)\| \longrightarrow +\infty$