Cómo encontrar $k$ tal que $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/ \langle (m,n)\rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_k$

Question

En el libro de John Fraleigh, Un primer curso de álgebra abstracta En los ejercicios 15.7 y 15.11 se demuestra que $$ (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/ \langle (1,2)\rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_1 \cong \mathbb{Z} \ \ \ \ \  \mbox{ and  } \ \ \ \ \ (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/ \langle (2,2)\rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2 $$ Esto se hace con el primer teorema del isomorfismo. Con la misma idea he demostrado, por ejemplo, que $$ (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/ \langle (2,3)\rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_1 \cong \mathbb{Z} \ \ \ \ \ \mbox{ and }\ \ \ \ \ (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/ \langle (2,4)\rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2 $$ Así que conjeturé que $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/ \langle (m,n)\rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{k}$ donde $k=\mathrm{gdc}(m,n)$ . Para los cuatro casos anteriores, el homomorfismo $\phi: \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times\mathbb{Z}_k$ dado por $$ \phi(x,y)=\left(\frac{nx-my}{k}, \ x \ \ (\mathrm{mod} \ k) \right) $$ es sobreyectiva con núcleo = $\langle (m,n)\rangle$ . Sin embargo, este no es el caso cuando $(m,n)=(4,6)$ . Por lo tanto, no puedo utilizar lo que hice para los cuatro casos para demostrar el caso general.

Lo que quiero saber es si mi conjetura es cierta. Si lo es, ¿cómo puedo dar un homomorfismo general? Si no es cierta, ¿cómo puedo encontrar $k$ , de tal manera que $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/ \langle (m,n)\rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_k$ ?

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda/sugerencia/comentario!

Answer 1

Otro enfoque consiste en resolver $mx-ny=k$ y luego demostrar que $r(m/k,n/k)+s(x,y)$ es todo $\mathbb Z\times \mathbb Z$ y cada elemento de $\mathbb Z\times\mathbb Z$ es expresable de esta forma sólo de una manera.

Entonces está claro que $r(m/k,n/k)+s(x,y)\sim r'(m/k,n/k)+s'(x,y)$ si y sólo si $k\mid r-r'$ y $s=s'$ .

Entonces, ¿cómo mostramos lo anterior? Si $mx-ny=k$ entonces $$\begin{pmatrix}m/k&n/k\\y&x\end{pmatrix}$$ tiene un determinante $1$ y por lo tanto tiene una inversa con coeficientes enteros.

Answer 2

Como mencionó SpamIAm, la Forma Normal de Smith es una herramienta útil en este caso. Con $(m,n)=(4,6)$ obtenemos $(4,6)\rightarrow (4,2)\rightarrow (2,2)\rightarrow (2,0)$ lo que significa que obtenemos $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$ . Los pasos que hay que seguir son los siguientes $m$ y $n$ en una matriz y puedes realizar operaciones como restar un múltiplo entero de una columna a otra y reordenar las columnas. Pruebe esto para los casos que utilizó anteriormente para tener una idea del patrón. A continuación, comprueba si puedes obtener un homomorfismo general a partir de estos ejemplos. Mucha suerte.