Divisibilidad en base $7$ problema

Question

Encontrar todos los números enteros entre el $0 \leq a \leq 2400$ que son divisibles por $8$ y que su base 7 desarrollo tiene al menos $3$ igual dígitos.

Answer 1

En base 7 un número es divisible por 8 si y sólo si la alternancia suma de sus dígitos es divisible por 8.

Si 3 dígitos son iguales, y en la alternancia de la suma es divisible por 8, el 4º dígito debe también ser igual.

Por lo tanto, las respuestas son 0000, 1111, 2222, 3333, 4444, 5555, y 6666 (todo escrito en base 7). (No estoy seguro de si se caracterizan 0000 como tener 3 igualdad de dígitos o no).

Answer 2

Sugerencia: Como $7^4=2401$ los números de $a$ tienen en la mayoría de cuatro dígitos en base $7$, tres de los cuales deben ser iguales. La divisibilidad de la prueba para $11$ base $10$ (suma de los incluso los lugares y restar los lugares extraños) es en realidad una prueba de $b+1$ base $b$, por lo que le dará un fácil comprobar la divisibilidad por $8$. No hay muchos números para comprobar.

Answer 3

¿Cuál es el menor número de 3 dígitos en la base 7? el más grande?