Diferentes interpretaciones de número imaginario

Question

Fui a través de un curso de álgebra lineal y estoy un poco confundida..

Creo entender la interpretación geométrica de los números imaginarios - multiplicando por $i$ resultados en la rotación por $90$ grados en que $1$ hace $i$ y así sucesivamente. Y es allí donde el $i^2 = -1$ proviene.

Y luego hay la representación de la matriz de $i$, ya que entiendo que surgió a partir de una posterior generalización de los números complejos. Me interpretar la representación de la matriz como función de transformación que básicamente proyectos el eje imaginario al eje real. He pensado que es algo muy similar a los vectores, con la diferencia de que con los vectores escribo:

$P = x\mathbf{\hat{i}} + y\mathbf{\hat{j}}$ donde $\mathbf{\hat{i}} = (1, 0)$ $\mathbf{\hat{j}} = (0, 1)$

..y con números complejos puedo escribir:

$C = a + bi$ donde $i$ = $2\times 2$ de la matriz, que representa el mismo $90$ grado de transformación de la lógica de la transformación.

La correcta? O al menos cerca?

De todos modos, como yo lo entiendo, tanto de estas interpretaciones de $i$ son de hecho más tarde de lo $i=\sqrt{-1}$ sí. Hay un antes interpretación? Cómo lo hicieron aquellos que inventó número imaginario demostrar que $i = \sqrt{-1}$ en el primer lugar?

Gracias!

Answer 1

Como Cameron Williams comentario útil aclara: no era una cuestión de "probar" que $i =\sqrt{-1}$, pero es más una cuestión de la definición de $i$ a representar la solución a $i^2 = -1$, como un medio, por ejemplo, para resolver polinomios como $x^2 + 1 = 0$.

Usted puede encontrar el siguiente post útil para ayudar a la comprensión de $i$ en diferentes contextos:

• ¿Cuáles son los números imaginarios? donde vas a encontrar muchas alternativas de perspectivas con respecto a cómo entender la $i$ en diversos contextos.

Answer 2

Como ya se ha comentado, $i^2=-1$ nunca fue probada, pero se encuentra en el origen de la creación de los números imaginarios. La ecuación polinómica $x^2+1=0$ no tiene ninguna raíz real, por lo tanto, $\mathbb{R}$ no es algebraicamente cerrado. Con el fin de crear un algebraicamente cerrado de extensión de campo de $\mathbb{R}$, usted tiene que agregar una solución de esta ecuación. Si llamamos a la solución de $i$, se debe, por supuesto, tienen la propiedad de $i^2=-1$. En fin a ver que la adición de $i$ es realmente suficiente para llegar a una expresión algebraica de cierre, es posible que desee leer sobre el teorema Fundamental del Álgebra (http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra).

Un uso de la matriz de representación de los números complejos es ver cómo la multiplicación con números complejos actúa sobre vectores en $\mathbb{R}^2 \simeq \mathbb{C}$.

Answer 3

$i$ no estaba demostrado, como lo fue concebido inventado, si se quiere, para resolver un conjunto de problemas que antes no tenían solución. El más famoso problema de este tipo (aunque no la primera que fue tratada con este enfoque) es una ecuación polinómica de segundo grado sin raíces reales

$ax^2+bx+c=0$ tal que $\left(\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{c}{a} < 0$

La ecuación de $x^2 + 1=0$ es sólo un ejemplo de una ecuación, pero una vez que uno se define la cantidad de $i$ a resolverlo, también se puede especificar las soluciones a todos los de segundo grado de la ecuación, y no sólo a aquellos con raíces reales. Y no sólo eso, también se puede encontrar todas las tres soluciones de las ecuaciones cúbicas eran sólo una raíz real. Y mucho más, por supuesto...

Cuando los matemáticos empecé a hacer esto no era una cuestión de demostrar que $i$ resuelve $x^2+1=0$, tanto como la definición de hacerlo.