Encuentre una fórmula para $f''$ en términos de $f$ , donde $f\gt 0$ y $(f')^2=f-\frac{1}{f^2}.$

Question

El problema:

Supongamos que una función $f \gt 0$ tiene la propiedad $$ (f')^2=f-\frac{1}{f^2} $$ Encuentre una fórmula para $f''$ en términos de $f$ . Sugerencia: Utilice el teorema 7.

Teorema 7:

Supongamos que $f$ es continua en $a$ y que $f'(x)$ existe para todos los $x$ en algún intervalo que contenga $a$ , excepto tal vez por $x=a$ . Supongamos, además, que $\lim_{x\to a}f'(x)$ existe. Entonces $f'(a)$ también existe, y $$ f'(a)=\lim_{x\to a}f'(x) $$

Creo que este problema supone $f''$ existe en todas partes. Este es mi trabajo hasta ahora.

Por la regla de la cadena, $2f'f''=f'+\frac{2f'}{f^3}$ . Dividiendo por $f'$ obtenemos $f''=1/2+1/f^3$ En todos los puntos $x$ donde $f'(x)\neq 0.$ Desde $(f')^2=\frac{f^3-1}{f^2}$ tenemos $f'(x)=0$ sólo para $f(x)=1$ . Así que tengo que calcular $f''(x)$ para tal $x$ . Usando la pista, primero adiviné que el Teorema $7$ (aplicado a $f'$ ) implica que la fórmula también es válida en este caso, con $f''(x)=\lim_{y\to x}1/2+1/f^3(y)=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$ .

Sin embargo, al inspeccionar de cerca, me di cuenta de que esto puede no ser cierto, ya que para cualquier barrio alrededor de tales $x$ Puede que haya otro $x_0$ tal que $f(x_0)=1$ y en ese caso no puedo calcular el límite como en el caso anterior. ¿Cómo puedo resolver esta situación, o el problema es erróneo? Agradecería mucho cualquier ayuda.

Answer 1

Voy a suponer que estamos buscando funciones $f$ que se definen y $\mathcal{C}^2$ en un intervalo abierto.

Hay dos casos:

• si $f$ es constante e igual a $1$ entonces $f''$ obviamente se desvanece.

• Supongamos que $f$ no es constante. Si $f(x) \neq 1$ para todos $x$ entonces $f'' = \frac{1}{2}+\frac{1}{f^3}$ . Por lo tanto, supongamos que existe $x_0$ tal que $f(x_0) = 1$ .

En este último caso, ya que $f$ no es constante, existe $x_1$ tal que $f(x_1) \neq 0$ . Supongamos que $x_1 > x_0$ (el otro caso es similar). Sea $x_* := \sup \{x \in [x_0, x_1]: \ f(x) = 1\}$ . Entonces, por continuidad, $f(x_*) = 1$ y $x_* < x_1$ y $f(x) \neq 1$ para todos $x \in (x_*, x_1]$ . Pero entonces, $f'' = \frac{1}{2}+\frac{1}{f^3}$ en $(x_*, x_1]$ Así que $\lim_{x \to x_*^+} f'' (x) = \frac{3}{2}$ . Desde $f$ se supone que es $\mathcal{C}^2$ esto da como resultado $f'' (x_*) = \frac{3}{2}$ Así que $x_*$ es una solución aislada de $f = 1$ .

Ahora, demostremos que $x_*$ es la única solución de la ecuación $f = 1$ . Supongamos que existe otra solución $x_2$ . Supongamos que $x_2 < x_*$ (el otro caso es similar), y poner $x_\circ := \sup \{x \in [x_2, x_*): \ f(x) = 1\}$ . Desde $x_*$ es una solución aislada de $f = 1$ tenemos $x_2 \leq x_\circ < x_*$ . Por continuidad, $f(x_\circ) = 1$ . Por el teorema de Rolle, existe $x \in (x_\circ, x_*)$ tal que $f'(x) = 0$ . Pero entonces, $f(x) > 1$ Así que al mismo tiempo $|f'(x)| > 0$ : esto es una contradicción.

Por lo tanto, $f$ toma el valor $1$ como máximo en un punto. En este punto, hemos demostrado que la relación $f'' = \frac{1}{2}+\frac{1}{f^3}$ todavía se mantiene. Por lo tanto, $f'' = \frac{1}{2}+\frac{1}{f^3}$ en todas partes.

Tenga en cuenta que esto supone que $f$ es $\mathcal{C}^2$ ; entonces, la función $f$ es monótona (y estrictamente mayor que $1$ ), o disminuye a $1$ y luego aumenta. Si $f$ sólo se supone que es $\mathcal{C}^1$ Sospecho que hay situaciones más complicadas (por ejemplo, f disminuye a $1$ , entonces toma el valor $1$ en un intervalo, luego aumenta).