@Eric, Si tu pregunta es único : es verdad que $f=0$ en casi todas partes, se han
obtener el contraejemplo. Pero si tu pregunta es lo que nos dijo acerca de la $f,$
sígueme:
De $\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt=cf(x),$ todos los $x>0,$ obtenemos $$
\int_{0}^{x}f(t)dt=cxf(x),\ x>0.
$$
Suponga que $f$ es continua. Por el Teorema Fundamental de la izquierda
es una función derivable, por lo que el derecho debería ser demasiado, que es $f$ es
es necesario diferenciable y, a continuación,
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}f(t)dt &=&cf(x)+cxf^{\prime }(x),\ for\ x>0. \\
f(x) &=&cf(x)+cxf^{\prime }(x),\ for\ x>0 \\
(1-c)f(x) &=&cxf^{\prime }(x),\ \ \ \ \ for\ x>0.
\end{eqnarray*}
Discusión:
Si $c=1$ $f^{\prime }(x)=0,$ todos los $x>0,$ $f$ es de (cualquier) constante
incluyendo $f(x)=0$ en todas partes.
Si $c=0$ $f(x)=0,$ todos los $x>0.$
Si $c\neq 0,1.$ Asume que existe un intervalo de $I$ donde$f(x)>0.$, por Lo que en
dicho intervalo de tiempo que uno tiene
$$
\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{(1-c)}{c}\frac{1}{x},\\ todo\ x\in I.
$$
a continuación,%
$$
\ln \left\vert f(x)\right\vert =\frac{1-c}{c}\ln x+d,\\ todo\ x\in
I\subconjunto \left( 0,+\infty \right)
$$
y así, vamos a $(c-1)/c=k$
$$
\left\vert f(x)\right\vert =e^{k\ln x+d}=\alpha x^{k},\\ todo\ x\in I,\
con\ \alpha >0.
$$
Pero en su hipótesis, se dice $f\geq 0,$, por lo que
$$
f(x)=\alpha x^{k},\\ todo\ x\in I,\ con\ \alpha >0.
$$
Tome $I$ ser el máximo intervalo posible, por lo tanto es de $\left( 0,+\infty
\right) ,$ or $I_{\max }=\left( a,b\right) $ for some $b>0$ and some $\geq
0.$ From continuity arguments, it follows that $f(b)=0.$ So from $(1-c)f(x)=cxf^{\prime }(x),\ para\ x>0.
$ it follows that $f^{\prime }(b)=0.$ But $f^{\prime }(x)=\alpha kx^{k-1}$
para todos los $x\in \left( a,b\right) $, $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f^{\prime
}(x)=\alpha kb^{k-1}=0$ implies $b=0$ which is impossible since $b>0.$ Es
sigue ese $I_{\max }$ es ilimitado desde la derecha. Podemos mostrar el mismo
manera que $a=0$ necesariamente y, a continuación, $I_{\max }=\left( 0,+\infty \right) .$
De ello se sigue que $f(x)=\alpha x^{k},\\ todo\ x\en (0,+\infty ),\
con\ \alpha >0.$ or $f(x)=0$ for all $x\en (0,+\infty ).$
Conclusión:
Si $c\neq 0,1$ entonces $f(x)=0$ todos los $x>0$ o $f(x)=f(1) x^{k}$
todos los $x>0$ $k=\frac{c-1}{c}.$