$\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt=cf(x),\forall{x\in(0,\infty)}$ $\Rightarrow$ $f=0$ en casi todas partes?

Question

Supongamos $f$ es un apreciable valor real de la función en $(0,\infty)$ tal que $f\geq 0$ y $$\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt=cf(x),\quad\forall{x\in(0,\infty)}$$ para algunas constantes $c$. De lo anterior se sigue que el $f=0$ en casi todas partes?

Desde el lado izquierdo es el promedio de la función en $[0,x]$ es intuitivamente cierto, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. Por supuesto, si $f=0$ en casi todas partes de esta propiedad de inmediato.

Answer 1

No. Contraejemplo: $c=1$ $f(x)=k>0$ todos los $x$.

Answer 2

Considere la posibilidad de $f(x)=\frac{x^{\frac{1}{c}-1}}{c}$.

Answer 3

@Eric, Si tu pregunta es único : es verdad que $f=0$ en casi todas partes, se han obtener el contraejemplo. Pero si tu pregunta es lo que nos dijo acerca de la $f,$ sígueme:

De $\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt=cf(x),$ todos los $x>0,$ obtenemos $$ \int_{0}^{x}f(t)dt=cxf(x),\ x>0. $$ Suponga que $f$ es continua. Por el Teorema Fundamental de la izquierda es una función derivable, por lo que el derecho debería ser demasiado, que es $f$ es es necesario diferenciable y, a continuación, \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\int_{0}^{x}f(t)dt &=&cf(x)+cxf^{\prime }(x),\ for\ x>0. \\ f(x) &=&cf(x)+cxf^{\prime }(x),\ for\ x>0 \\ (1-c)f(x) &=&cxf^{\prime }(x),\ \ \ \ \ for\ x>0. \end{eqnarray*} Discusión:

Si $c=1$ $f^{\prime }(x)=0,$ todos los $x>0,$ $f$ es de (cualquier) constante incluyendo $f(x)=0$ en todas partes.

Si $c=0$ $f(x)=0,$ todos los $x>0.$

Si $c\neq 0,1.$ Asume que existe un intervalo de $I$ donde$f(x)>0.$, por Lo que en dicho intervalo de tiempo que uno tiene $$ \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{(1-c)}{c}\frac{1}{x},\\ todo\ x\in I. $$ a continuación,% $$ \ln \left\vert f(x)\right\vert =\frac{1-c}{c}\ln x+d,\\ todo\ x\in I\subconjunto \left( 0,+\infty \right) $$ y así, vamos a $(c-1)/c=k$ $$ \left\vert f(x)\right\vert =e^{k\ln x+d}=\alpha x^{k},\\ todo\ x\in I,\ con\ \alpha >0. $$ Pero en su hipótesis, se dice $f\geq 0,$, por lo que $$ f(x)=\alpha x^{k},\\ todo\ x\in I,\ con\ \alpha >0. $$ Tome $I$ ser el máximo intervalo posible, por lo tanto es de $\left( 0,+\infty \right) ,$ or $I_{\max }=\left( a,b\right) $ for some $b>0$ and some $\geq 0.$ From continuity arguments, it follows that $f(b)=0.$ So from $(1-c)f(x)=cxf^{\prime }(x),\ para\ x>0. $ it follows that $f^{\prime }(b)=0.$ But $f^{\prime }(x)=\alpha kx^{k-1}$ para todos los $x\in \left( a,b\right) $, $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f^{\prime }(x)=\alpha kb^{k-1}=0$ implies $b=0$ which is impossible since $b>0.$ Es sigue ese $I_{\max }$ es ilimitado desde la derecha. Podemos mostrar el mismo manera que $a=0$ necesariamente y, a continuación, $I_{\max }=\left( 0,+\infty \right) .$ De ello se sigue que $f(x)=\alpha x^{k},\\ todo\ x\en (0,+\infty ),\ con\ \alpha >0.$ or $f(x)=0$ for all $x\en (0,+\infty ).$

Conclusión:

Si $c\neq 0,1$ entonces $f(x)=0$ todos los $x>0$ o $f(x)=f(1) x^{k}$ todos los $x>0$ $k=\frac{c-1}{c}.$