La creación de un bijection de $(a,b)$ $\mathbb R$que es visualmente atractiva

Question

Dada esta "prueba sin palabras" de MO

Estoy tratando de:

a) encontrar una función que se comporta como la función que se muestra, en un intervalo abierto - decir $(-1/2,1/2)$

b) encontrar algo de intuición para qué/cómo esto funciona.

Dada esta relacionado con M. SE pregunta y el uso del círculo en el MO post, me siento atraído a la función tangente.

1. Comprobación de validez: es $f(x) = -\tan (\pi x)$ $(-1/2,1/2)$ a los reales, la/una función que ajusta la imagen?

2. Se puede proporcionar una visualización que me ayudaría puente de la intuición brecha?

Answer 1

En la respuesta que me dieron aquí, me muestran un bijection $(0,1)\to\Bbb R$. Tenga en cuenta que el numerador se ejecuta de forma lineal a partir de $-1$$1$, mientras que en uno lineal factor en el denominador se ejecuta de $0$ $1$y la otra se ejecuta de$1$$0$. A medida que nos acercamos al límite inferior del dominio, la función tiende a $-\infty$; el límite superior, a $+\infty.$ Nuestra elección de los factores que también hace de inyectividad y la continuidad fácil de probar.

Algo similar se puede hacer para un intervalo arbitrario $(a,b).$ Poner un factor de $x-a$ y un factor de $b-x$ en el denominador, a continuación, hacer el numerador $2x-(a+b)$. Puede escalar como más te guste.

Su ejemplo sin duda hace el truco, demasiado, y una transformación apropiada permitirá adaptar el ejemplo para cualquier intervalo de tiempo. Si quieres algo de ayuda la visualización de por qué su ejemplo debe trabajar, ver la foto en esta pregunta, en sustitución de $h$$\pi x$. Como nos permitir $x$ a un rango de más de $(-\pi/2,\pi/2)$, se hace evidente que el firmado de la longitud de esa larga pierna opuesta toma cada valor real, y que a cada uno firmado longitud corresponde un único $x$ en ese rango. Por lo tanto, $\tan(\pi x)$ es un bijection, por lo que desde $x\mapsto -x$ es un bijection, entonces tu ejemplo funciona.