Cuaterniones de rotación de la intuición

Question

Dicen que los cuaterniones real y la parte imaginaria se escriben como $(q_1, \vec q)$. Una de las más útiles de la multiplicación propiedad es $qr=(q_1r_1 - \langle\vec q, \vec r\rangle, q_1\vec r + r_1\vec q + \vec q \times \vec r)$. Estoy interesado en por qué para la unidad de cuaterniones $q=\left(cos\left(\frac{\phi}{2}\right), \vec v \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right), |v|=1$ la fórmula $x'=qxq^{-1}=qxq^*$ es una rotación en el punto de $x$ (representado como imaginario de cuaterniones) por un ángulo de $\phi$ alrededor del eje de rotación de $\vec v$

Yo conozco a una prueba similar a la wikipedia prueba, justs tapones en $q$$q^*$, utiliza la multiplicación de la propiedad, entonces se simplifica y el paso clave es reconocer que lo que sale es una rotación de la fórmula .

Estoy buscando algo más intuitivo. Como para los números complejos es fácil ver que al multiplicar $z=re^{i\phi}$ $e^{i\theta}$ le da una rotación con $re^{i(\phi+\theta)}$

En este post uno tiene para el imaginario de cuaterniones $\mathbf v$ que $e^\mathbf{v}= \cos|v|+ \mathbf{v}\;\dfrac{\sin |v|}{|v|}$, por lo que se ve algo similar a $q$ desde arriba, pero no veo cómo me ayuda.

Answer 1

Dato divertido: la raíz cuadrada de $-1$ $\Bbb H$ son precisamente los puramente imaginaria de la unidad de cuaterniones. Para cualquier cuaterniones $\bf u$, el subespacio $\Bbb R\oplus\Bbb R{\bf u}\subset \Bbb H$ es un verdadero subalgebra isomorfo a $\Bbb C$. De hecho, todos los números de $a+b{\bf u}$ sólo actúan entre sí como los números complejos $a+bi$. Vamos a denotar este subespacio $A({\bf u})$, y su complemento ortogonal por $B({\bf u})$. (El uso de la norma Euclidiana producto interior en $\Bbb H$ la inducción de la norma norma Euclídea $\|\cdot\|$.)

Escribir $B({\bf u})=\langle {\bf v},{\bf w}\rangle$ donde $\{{\bf u},{\bf v},{\bf w}\}$ es una ordenó ortonormales base para el puramente imaginarias cuaterniones con la misma orientación como $\{{\bf i},{\bf j},{\bf k}\}$. A continuación, en particular, $\{1,{\bf u},{\bf v},{\bf w}\}$ tiene la misma tabla de multiplicación como $\{1,{\bf i},{\bf j},{\bf k}\}$ (esto se deduce de la regla de ${\bf ab}=-{\bf a}\cdot{\bf b}+{\bf a}\times{\bf b}$).

Denotar ${\bf q}=\exp(\theta{\bf u})=\cos\theta+{\bf u}\sin\theta$ y deje $L_{\bf q}({\bf x})={\bf q}{\bf x}$$R_{\bf q}({\bf x})={\bf xq}$. Observe $L_{\bf q}$ $R_{\bf q}$ son tanto hacia la izquierda rotaciones en el $\langle 1,{\bf u}\rangle$-avión $A({\bf u})$ por un ángulo de $\theta$, e $L_{\bf q}$ es una rotación en sentido horario, mientras que $R_{\bf q}$ es una rotación en sentido antihorario en el $\langle {\bf v},{\bf w}\rangle$-avión $B({\bf u})$. Componer los dos mapas que se duplicaría hasta su efecto en el primer plano y cancelar sus efectos en la segunda; si en lugar de componer los mapas $L_{\bf q}$$R_{\bf q^{-1}}$, a continuación, los efectos en el primer plano, se cancelará y los efectos en segundo plano doble.

Por lo tanto, ${\bf x}\mapsto {\bf qxq}^{-1}$ donde ${\bf q}=\exp(\theta{\bf u})$ girará puramente imaginario cuaterniones alrededor del eje $\Bbb R\bf u$ por el ángulo de $2\theta$ de acuerdo a la derecha-la regla de la mano.