Derivada parcial de funciones complejas.

Question

Vi esto en un texto de análisis complejo $\frac{\partial^2}{\partial z \, \partial\overline{z}}\log\frac{1}{1-|z|^2}=\frac{1}{(1-|z|^2)^2}$ .

¿Podemos tratar $z, \bar{z}$ como variables independientes, como lo que hicimos en

$$\frac{\partial^2}{\partial x \, \partial y}\log\frac{1}{1-xy}=\frac{1}{(1-xy)^2}\text{ ?}$$

Answer 1

Sí, el uso de los derivados de Wirtinger explica por qué $\frac{\partial^2}{\partial z\partial\overline{z}}\log\frac{1}{1-|z|^2}=\frac{1}{4}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right)\log\frac{1}{1-(x^2+y^2)}=\frac{1}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{1}{(1-|z|^2)^2}.$